O enunciado pede: achar as duas diferenças divididas de 1^{\mathrm{a}} ordem e uma diferença dividida de 2^{\mathrm{a}} ordem da tabela dada.
Os dados fornecidos são (peguei diretamente a tabela do enunciado):
as duas diferenças divididas de 1^{\mathrm{a}} ordem: f[x_0,x_1] e f[x_1,x_2];
a diferença dividida de 2^{\mathrm{a}} ordem: f[x_0,x_1,x_2].
Passo 2
O que é e como calcular uma diferença dividida de 1^{\mathrm{a}} ordem?
A diferença dividida de 1^{\mathrm{a}} ordem entre dois pontos x_i e x_j é definida por
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}.
Aqui:
f(x_i) é o valor da função no ponto x_i (no nosso caso f(x_i)=y_i);
x_j-x_i é a diferença entre as abscissas.
Esse quociente nada mais é do que a “inclinação média” entre os dois pontos — parecido com a inclinação de uma reta que passa pelos pontos (x_i,y_i) e (x_j,y_j). Vou aplicar isso passo a passo com os dados.
Passo 3
Calcular f[x_0,x_1]. Usando a fórmula:
f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.
Substituindo os valores da tabela:
f[x_0,x_1]=\frac{14,5-6,5}{3,5-0,5}.
Agora faço as subtrações (mostrando direitinho):
14,5-6,5=8,0\qquad\text{e}\qquad 3,5-0,5=3,0.
Portanto
f[x_0,x_1]=\frac{8,0}{3,0}=\frac{8}{3}.
Posso também dar a forma decimal aproximada:
\frac{8}{3}=2,666\ldots
Passo 4
Calcular f[x_1,x_2]. Novamente:
f[x_1,x_2]=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Substituindo:
f[x_1,x_2]=\frac{17,5-14,5}{5,5-3,5}.
Faço as subtrações:
17,5-14,5=3,0\qquad\text{e}\qquad 5,5-3,5=2,0.
Logo
f[x_1,x_2]=\frac{3,0}{2,0}=\frac{3}{2}=1,5.
Passo 5
O que é e como calcular a diferença dividida de 2^{\mathrm{a}} ordem?
Para três pontos x_0,x_1,x_2 a diferença dividida de 2^{\mathrm{a}} ordem é dada por
Aqui usamos as duas diferenças de 1^{\mathrm{a}} ordem que já calculamos no passo anterior. Note que o denominador é a diferença entre a primeira e a última abscissa (não entre pontos consecutivos).
Dica rápida para a prova: coloque tudo em frações simples quando possível (como fizemos) — isso evita erros de arredondamento; só passe para decimal se a resposta pedir. Se tiver mais pontos, construa uma tabela triangular de diferenças divididas: as primeiras colunas são y_i, depois as diferenças de 1ª ordem, depois as de 2ª ordem, e assim por diante — isso organiza bem os cálculos.