Calcule
.
Passo 1
O problema pede para calcular
.
As informações dadas são: .
Ou seja, a função vetorial tem componentes e
As informações dadas são:
Ou seja, a função vetorial tem componentes
Passo 2
Primeiro lembramos a definição de norma de um vetor em
: para
,
Aplicando isso a
obtemos
Comentário rápido e didático: o produto escalar (dot product) de
por si mesmo é
, e a norma é a raiz quadrada disso. Um exemplo simples: a norma de
é
.
Passo 3
Para derivar uma raiz quadrada usamos a regra da cadeia. Se
, então
Aqui podemos tomar
, isto é
. Assim
Passo 4
Derivada do produto escalar
: como é o mesmo vetor aparecendo duas vezes, vale a regra
(Explicando: em componentes
e derivando dá
.)
Portanto
Esta é uma fórmula muito útil e frequentemente usada: a derivada da norma é o quociente do produto escalar entre o vetor e sua derivada pela própria norma.
Passo 5
Calculemos
derivando componente a componente:
Agora o produto escalar
Simplificando:
Passo 6
Já tínhamos
. Para simplificar o denominador podemos somar as quadraturas:
Portanto
Substituindo na fórmula da derivada obtemos
Observação: o denominador é sempre positivo, pois
não ocorre para nenhum
(seria preciso
e
simultaneamente, o que não é possível).