Calcule \frac{d}{d t}\|\mathbf{R}(t)\|.
\mathbf{R}(t)=(t-1) \mathbf{i}+(2-t) \mathbf{j}

Passo 1

O problema pede para calcular \dfrac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|.
As informações dadas são: \mathbf{R}(t)=(t-1)\mathbf{i}+(2-t)\mathbf{j}.
Ou seja, a função vetorial tem componentes \;R_x(t)=t-1\; e \;R_y(t)=2-t\;.

Passo 2

Primeiro lembramos a definição de norma de um vetor em \mathbb{R}^2: para \mathbf{v}=(v_x,v_y),
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Aplicando isso a \mathbf{R}(t) obtemos
\|\mathbf{R}(t)\|=\sqrt{(t-1)^2+(2-t)^2}.
Comentário rápido e didático: o produto escalar (dot product) de \mathbf{R}(t) por si mesmo é \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t)=(t-1)^2+(2-t)^2, e a norma é a raiz quadrada disso. Um exemplo simples: a norma de (3,4) é \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Para derivar uma raiz quadrada usamos a regra da cadeia. Se \varphi(t)=\sqrt{u(t)}, então
\frac{d\varphi}{dt}=\frac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}}.
Aqui podemos tomar u(t)=\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t), isto é u(t)=(t-1)^2+(2-t)^2. Assim
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{1}{2\|\mathbf{R}(t)\|}\frac{d}{dt}\big(\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t)\big).

Passo 4

Derivada do produto escalar \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t): como é o mesmo vetor aparecendo duas vezes, vale a regra
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{R}\cdot\mathbf{R}\big)=2\,\mathbf{R}\cdot\mathbf{R}'.
(Explicando: em componentes \mathbf{R}\cdot\mathbf{R}=R_x^2+R_y^2 e derivando dá 2R_xR_x'+2R_yR_y'=2\mathbf{R}\cdot\mathbf{R}'.)
Portanto
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)}{\|\mathbf{R}(t)\|}.
Esta é uma fórmula muito útil e frequentemente usada: a derivada da norma é o quociente do produto escalar entre o vetor e sua derivada pela própria norma.

Passo 5

Calculemos \mathbf{R}'(t) derivando componente a componente:
\mathbf{R}'(t)=\frac{d}{dt}\big((t-1)\big)\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\big(2-t\big)\mathbf{j}=1\mathbf{i}+(-1)\mathbf{j}=\mathbf{i}-\mathbf{j}.
Agora o produto escalar
\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)=(t-1)\cdot 1+(2-t)\cdot(-1)=(t-1)-(2-t).
Simplificando:
(t-1)-(2-t)=t-1-2+t=2t-3.

Passo 6

Já tínhamos \|\mathbf{R}(t)\|=\sqrt{(t-1)^2+(2-t)^2}. Para simplificar o denominador podemos somar as quadraturas:
(t-1)^2+(2-t)^2=(t-1)^2+(t-2)^2= (t^2-2t+1)+(t^2-4t+4)=2t^2-6t+5.
Portanto
\|\mathbf{R}(t)\|=\sqrt{2t^2-6t+5}.
Substituindo na fórmula da derivada obtemos
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{2t-3}{\sqrt{2t^2-6t+5}}.
Observação: o denominador é sempre positivo, pois \mathbf{R}(t)=\mathbf{0} não ocorre para nenhum t (seria preciso t-1=0 e 2-t=0 simultaneamente, o que não é possível).

Resposta

\dfrac{2t-3}{\sqrt{2t^2-6t+5}}

Exercícios relacionados