Calcule \frac{d}{d t}\|\mathbf{R}(t)\|.
\mathbf{R}(t)=\left(e^{t}+1\right) \mathbf{i}+\left(e^{t}-1\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{R}(t) e pede a derivada do comprimento (norma) desse vetor em relação a t. Informações fornecidas:
\mathbf{R}(t)=\bigl(e^{t}+1\bigr)\mathbf{i}+\bigl(e^{t}-1\bigr)\mathbf{j}.
O que se pede: calcular \dfrac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e por que ela vale (explicação passo a passo):
Defina u(t)=\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t)=\|\mathbf{R}(t)\|^{2}. Então \|\mathbf{R}(t)\|=\sqrt{u(t)}. Pela regra da cadeia, a derivada é
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{d}{dt}\sqrt{u(t)}=\frac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}}.
Como u(t)=\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t), temos u'(t)=2\,\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) (derivando produto interno: deriva-se cada fator). Substituindo em cima:
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{2\,\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)}{2\|\mathbf{R}(t)\|}=\frac{\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)}{\|\mathbf{R}(t)\|}.
Ou seja, fórmula prática e muito usada:
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)}{\|\mathbf{R}(t)\|}.
Aqui \mathbf{R}'(t) é a derivada componente a componente de \mathbf{R}(t), e \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) é o produto escalar.

Passo 3

Calcular \mathbf{R}'(t) derivando cada componente:
\mathbf{R}(t)=\bigl(e^{t}+1\bigr)\mathbf{i}+\bigl(e^{t}-1\bigr)\mathbf{j}
portanto
\mathbf{R}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}+1\bigr)\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}-1\bigr)\mathbf{j}=e^{t}\mathbf{i}+e^{t}\mathbf{j}=e^{t}(\mathbf{i}+\mathbf{j}).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t). Fazemos componente a componente:
\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)=\bigl(e^{t}+1\bigr)\cdot e^{t}+\bigl(e^{t}-1\bigr)\cdot e^{t}.
Somando os termos:
\bigl(e^{t}+1\bigr)e^{t}+\bigl(e^{t}-1\bigr)e^{t}=e^{2t}+e^{t}+e^{2t}-e^{t}=2e^{2t}.
Logo \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)=2e^{2t}.

Passo 5

Calcular a norma \|\mathbf{R}(t)\| para usar no denominador. Primeiro a norma ao quadrado:
\|\mathbf{R}(t)\|^{2}=\bigl(e^{t}+1\bigr)^{2}+\bigl(e^{t}-1\bigr)^{2}.
Expandindo:
\bigl(e^{t}+1\bigr)^{2}+\bigl(e^{t}-1\bigr)^{2}= \bigl(e^{2t}+2e^{t}+1\bigr)+\bigl(e^{2t}-2e^{t}+1\bigr)=2e^{2t}+2.
Portanto
\|\mathbf{R}(t)\|=\sqrt{2e^{2t}+2}=\sqrt{2}\,\sqrt{e^{2t}+1}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)}{\|\mathbf{R}(t)\|}=\frac{2e^{2t}}{\sqrt{2}\,\sqrt{e^{2t}+1}}.
Simplificando o fator numérico 2/\sqrt{2}=\sqrt{2}, obtemos
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{\sqrt{2}\,e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}+1}}.
Isso pode ser escrito também como
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=e^{2t}\sqrt{\frac{2}{e^{2t}+1}},
mas a forma \dfrac{\sqrt{2}\,e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}+1}} já está bem clara.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\|=\frac{\sqrt{2}\,e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}+1}}

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