Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede a derivada do comprimento (norma) desse vetor em relação a
. Informações fornecidas:
O que se pede: calcular
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar e por que ela vale (explicação passo a passo):
Defina . Então
. Pela regra da cadeia, a derivada é
Defina
Como
, temos
(derivando produto interno: deriva-se cada fator). Substituindo em cima:
Ou seja, fórmula prática e muito usada:
Aqui
é a derivada componente a componente de
, e
é o produto escalar.
Passo 3
Calcular
derivando cada componente:
portanto
Passo 4
Calcular o produto escalar
. Fazemos componente a componente:
Somando os termos:
Logo
.
Passo 5
Calcular a norma
para usar no denominador. Primeiro a norma ao quadrado:
Expandindo:
Portanto
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
Simplificando o fator numérico
, obtemos
Isso pode ser escrito também como
mas a forma
já está bem clara.