Encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o vetor mais geral cuja derivada é
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A derivada do vetor incógnita é a função vetorial constante
. - Não há outras condições iniciais fornecidas (por isso esperaremos constantes arbitrárias na solução).
Passo 2
Ideia básica (explicando a técnica): quando temos a derivada de um vetor, podemos integrar componente a componente. Ou seja, se
é o vetor desconhecido e
, então escrevemos as componentes e integramos cada uma separadamente. Integrar componente a componente significa aplicar a integral indefinida a cada coordenada scalar.
Passo 3
Escrevendo as componentes: escrevemos a derivada como componentes escalares em relação a algum parâmetro
onde
e
é a componente na direção de
.]
Passo 4
Integramos cada componente separadamente e explicamos a constante de integração: a integral indefinida de uma constante é a constante vezes
mais uma constante de integração. Ou seja,
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Essas constantes aparecem porque a derivada de uma constante é zero, então qualquer constante adicionada não altera a derivada.
Passo 5
Montando o vetor solução: juntando as componentes integradas obtemos a família mais geral de vetores cuja derivada é a dada:
Também podemos escrever de forma mais compacta como
onde
é um vetor constante arbitrário.
Passo 6
Verificação (sempre faça isso na prova): diferenciando
obtemos
ou seja, recuperamos exatamente a derivada dada. Assim a solução está correta.