Encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vetor mais geral cuja derivada é 3\mathbf{i}-2\mathbf{j}.\n
Informações dadas:
  • A derivada do vetor incógnita é a função vetorial constante 3\mathbf{i}-2\mathbf{j}.
  • Não há outras condições iniciais fornecidas (por isso esperaremos constantes arbitrárias na solução).

Passo 2

Ideia básica (explicando a técnica): quando temos a derivada de um vetor, podemos integrar componente a componente. Ou seja, se \mathbf{r}(t) é o vetor desconhecido e \mathbf{r}'(t)=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}, então escrevemos as componentes e integramos cada uma separadamente. Integrar componente a componente significa aplicar a integral indefinida a cada coordenada scalar.

Passo 3

Escrevendo as componentes: escrevemos a derivada como componentes escalares em relação a algum parâmetro t\): \[\mathbf{r}'(t)=3\mathbf{i}-2\mathbf{j} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x'(t)=3,\\[4pt] y'(t)=-2, \end{cases}
onde x(t)\] é a componente na direção de \(\mathbf{i} e y(t) é a componente na direção de \mathbf{j}.]

Passo 4

Integramos cada componente separadamente e explicamos a constante de integração: a integral indefinida de uma constante é a constante vezes t mais uma constante de integração. Ou seja,
\int 3\,dt = 3t + C_1,\qquad \int -2\,dt = -2t + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Essas constantes aparecem porque a derivada de uma constante é zero, então qualquer constante adicionada não altera a derivada.

Passo 5

Montando o vetor solução: juntando as componentes integradas obtemos a família mais geral de vetores cuja derivada é a dada:
\mathbf{r}(t) = \bigl(3t + C_1\bigr)\mathbf{i} + \bigl(-2t + C_2\bigr)\mathbf{j}.
Também podemos escrever de forma mais compacta como
\mathbf{r}(t)=3t\mathbf{i}-2t\mathbf{j}+\mathbf{C},
onde \mathbf{C}=C_1\mathbf{i}+C_2\mathbf{j} é um vetor constante arbitrário.

Passo 6

Verificação (sempre faça isso na prova): diferenciando \mathbf{r}(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(3t\mathbf{i}-2t\mathbf{j}+\mathbf{C}\bigr)=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+0=\;3\mathbf{i}-2\mathbf{j},
ou seja, recuperamos exatamente a derivada dada. Assim a solução está correta.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(3t+C_{1}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(-2t+C_{2}\bigr)\mathbf{j}

Exercícios relacionados