Achar os elementos da elipse 9 x^2+16 y^2=16 e da hipérbole 4 x^2-y^2=5.
Focos;

Passo 1

O enunciado pede pra achar os focos da elipse 9x^2 + 16y^2 = 16 e da hipérbole 4x^2 - y^2 = 5. O assunto é seções cônicas; vamos precisar colocar cada equação na forma padrão e usar as fórmulas de distância focal: c^2 = a^2 - b^2 para elipse e c^2 = a^2 + b^2 para hipérbole.

Passo 2

Para a elipse, dividimos a equação original por 16 para obter a forma padrão:
9x^216 + 16y^216 = 1
que equivale a
x^216/9 + y^21 = 1
Aqui identificamos a^2 = 16/9 (maior) e b^2 = 1. Usando c^2 = a^2 - b^2, temos
c^2 = 169 - 1 = 79,
logo c = raiz73. Como o eixo maior é o eixo x, os focos são em (pm c,0).

Passo 3

Para a hipérbole, dividimos a equação original por 5 para obter a forma padrão:
4x^25 - y^25 = 1
que equivale a
x^25/4 - y^25 = 1
Aqui identificamos a^2 = 5/4 e b^2 = 5. Usando c^2 = a^2 + b^2, temos
c^2 = 54 + 5 = 254,
logo c = 52. Como o eixo principal é o eixo x, os focos são em (pm c,0).

Resposta

Elipse: l(pm tfracraiz73,0r). Hipérbole: l(pm tfrac52,0r).

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