Uma das formas de se verificar a autenticidade da obra adquirida seria atestar sua idade usando a datação por carbono-14. Esse processo consiste em se estimar o tempo a partir da concentração relativa de carbono-14 (em relação à quantidade de carbono-12) em uma amostra de algum componente orgânico presente na obra. Considere as seguintes afirmações sobre essa verificação de autenticidade da obra:
I. A concentração de carbono é dada por uma função do tipo
C(t)=C0 cdot e^-k t
com C0 e k constantes positivas;
II. A meia-vida do carbono-14 é 5700 anos, ou seja, a concentração se reduz à metade após 5700 anos:
C(5700)=C02
III. Na análise da obra de arte, verificou-se que a concentração de carbono era 95,25 %, isto é, que:
C(bart)=0,9525 cdot C0
Tendo por base as informações acima e considerando que log 2(0,9525) approx-0,0702, é correto afirmar que a idade (em anos) da obra ( bart ) é, aproximadamente,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer descobrir a idade de uma obra de arte usando a datação por carbono-14. Isso envolve conceitos de decaimento radioativo, especificamente a meia-vida do carbono-14. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do decaimento exponencial e entender como a meia-vida funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula dada para a concentração de carbono-14 ao longo do tempo:
C(t) = C0 cdot e^-k t
Aqui, $ C(t) $ é a concentração de carbono-14 no tempo $ t $, $ C_{0} $ é a concentração inicial, e $ k $ é uma constante positiva que representa a taxa de decaimento.

Passo 3

Sabemos pela afirmação II que a meia-vida do carbono-14 é de 5700 anos. Isso significa que após 5700 anos, a concentração de carbono-14 cai para metade do valor inicial:
C(5700) = C02
Vamos usar isso para encontrar o valor de $ k $.

Passo 4

Substituindo $ t = 5700 $ na fórmula de decaimento:
t = 5700
Dividindo ambos os lados por $ C_{0} $:
C02 = C0 cdot e^-k cdot 5700
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para $ k $:
C0
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 $, então:
12 = e^-k cdot 5700

Passo 5

Agora, vamos usar a concentração encontrada na obra de arte, que é $ 95,25% $ da concentração inicial:
95,25%
Substituindo na fórmula de decaimento:
C(bart) = 0,9525 cdot C0
Dividindo ambos os lados por $ C_{0} $:
0,9525 cdot C0 = C0 cdot e^-k cdot bart
Aplicando o logaritmo natural:
C0
Usando o valor dado $ \log_{2}(0,9525) \approx -0,0702 $ e lembrando que $ \ln(0,9525) = \log_{2}(0,9525) \cdot \ln 2 $, podemos simplificar para:
0,9525 = e^-k cdot bart

Resposta

A idade aproximada da obra é de 400 anos.

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