Uma das formas de se verificar a autenticidade da obra adquirida seria atestar sua idade usando a datação por carbono-14. Esse processo consiste em se estimar o tempo a partir da concentração relativa de carbono-14 (em relação à quantidade de carbono-12) em uma amostra de algum componente orgânico presente na obra. Considere as seguintes afirmações sobre essa verificação de autenticidade da obra:
I. A concentração de carbono é dada por uma função do tipo
com
constantes positivas;
II. A meia-vida do carbono-14 é 5700 anos, ou seja, a concentração se reduz à metade após 5700 anos:
III. Na análise da obra de arte, verificou-se que a concentração de carbono era
, isto é, que:
Tendo por base as informações acima e considerando que
, é correto afirmar que a idade (em anos) da obra (
) é, aproximadamente,
I. A concentração de carbono é dada por uma função do tipo
II. A meia-vida do carbono-14 é 5700 anos, ou seja, a concentração se reduz à metade após 5700 anos:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer descobrir a idade de uma obra de arte usando a datação por carbono-14. Isso envolve conceitos de decaimento radioativo, especificamente a meia-vida do carbono-14. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do decaimento exponencial e entender como a meia-vida funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a fórmula dada para a concentração de carbono-14 ao longo do tempo:
Aqui, $ C(t) $ é a concentração de carbono-14 no tempo $ t $, $ C_{0} $ é a concentração inicial, e $ k $ é uma constante positiva que representa a taxa de decaimento.
Passo 3
Sabemos pela afirmação II que a meia-vida do carbono-14 é de 5700 anos. Isso significa que após 5700 anos, a concentração de carbono-14 cai para metade do valor inicial:
Vamos usar isso para encontrar o valor de $ k $.
Passo 4
Substituindo $ t = 5700 $ na fórmula de decaimento:
Dividindo ambos os lados por $ C_{0} $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para $ k $:
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 $, então:
Passo 5
Agora, vamos usar a concentração encontrada na obra de arte, que é $ 95,25% $ da concentração inicial:
Substituindo na fórmula de decaimento:
Dividindo ambos os lados por $ C_{0} $:
Aplicando o logaritmo natural:
Usando o valor dado $ \log_{2}(0,9525) \approx -0,0702 $ e lembrando que $ \ln(0,9525) = \log_{2}(0,9525) \cdot \ln 2 $, podemos simplificar para:
Resposta
A idade aproximada da obra é de 400 anos.