Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura T em função de (x, y) seja dada por T(x, y)=3(x^2+y^2)^2, em que T é expressa em graus Celsius e a e y em centímetros. Encontre a taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) na direção do eixo x e na direção do eixo y.

Passo 1

A questão dá a temperatura da chapa como T(x,y)=3(x^2+y^2)^2 e pede a taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) nas direções dos eixos x e y. Isso é exatamente o cálculo das derivadas parciais de T em x e y, pois a derivada direcional na direção de um eixo coincide com a derivada parcial correspondente.

Passo 2

Para calcular a derivada parcial de T em relação a x, usamos a regra da cadeia. Chamando u=x^2+y^2, temos T=3u^2. Assim,
partial Tpartial x=3cdot 2ucdot partial upartial x=6(x^2+y^2)cdot 2x=12x(x^2+y^2)

Passo 3

De modo análogo, para y:
partial Tpartial y=6(x^2+y^2)cdot 2y=12y(x^2+y^2)

Passo 4

Agora avaliamos ambas as derivadas no ponto (1,2). Primeiro calculamos x^2+y^2=1^2+2^2=5.
Para x:
partial Tpartial x|(1,2)=12cdot 1cdot 5=60

Passo 5

Para y:
partial Tpartial y|(1,2)=12cdot 2cdot 5=120

Resposta

A taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) é
– na direção do eixo x: 60 °C/cm
– na direção do eixo y: 120 °C/cm

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