Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura em função de seja dada por , em que é expressa em graus Celsius e a e y em centímetros. Encontre a taxa instantânea de variação de em relação à distância no ponto na direção do eixo x e na direção do eixo .
Passo 1
A questão dá a temperatura da chapa como e pede a taxa instantânea de variação de em relação à distância no ponto nas direções dos eixos e . Isso é exatamente o cálculo das derivadas parciais de em e , pois a derivada direcional na direção de um eixo coincide com a derivada parcial correspondente.
Passo 2
Para calcular a derivada parcial de em relação a , usamos a regra da cadeia. Chamando , temos . Assim,
Passo 3
De modo análogo, para :
Passo 4
Agora avaliamos ambas as derivadas no ponto . Primeiro calculamos .
Para :
Passo 5
Para y:
partial Tpartial y|(1,2)=12cdot 2cdot 5=120
Resposta
A taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) é