4- Achar a equação da curva que passa pelo ponto
, sabendo que o declive da tangente num ponto qualquer é igual
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos achar a equação da curva que passa por
e cuja derivada
em um ponto genérico
é dada por
Este é um problema de equação diferencial ordinária de 1ª ordem, separável.
Passo 2
Escrevendo
, fazemos a separação de variáveis:
Aqui colocamos todos os termos que envolvem
multiplicando
e todos os termos que envolvem
multiplicando
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
As integrais produzem
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a condição de que a curva passa por
. Substituindo
e
em
temos
Passo 5
Substituindo
na relação geral e multiplicando por 2, obtemos
Como
satisfaz
, a forma explícita da solução é
Resposta
A equação da curva é
, ou explicitamente
.