4- Achar a equação da curva que passa pelo ponto (3,4), sabendo que o declive da tangente num ponto qualquer é igual xy

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos achar a equação da curva que passa por (3,4) e cuja derivada y' em um ponto genérico (x,y) é dada por
y' = xy
Este é um problema de equação diferencial ordinária de 1ª ordem, separável.

Passo 2

Escrevendo dfracdydx = dfracxy, fazemos a separação de variáveis:
y,dy = x,dx
Aqui colocamos todos os termos que envolvem y multiplicando dy e todos os termos que envolvem x multiplicando dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral x,dx
As integrais produzem
y^22 = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar C, usamos a condição de que a curva passa por (3,4). Substituindo x=3 e y=4 em
y^22 = x^22 + C
temos
4^22 = 3^22 + C Longrightarrow 8 = 92 + C Longrightarrow C = 8 - 92 = 72

Passo 5

Substituindo C = tfrac72 na relação geral e multiplicando por 2, obtemos
y^2 = x^2 + 7
Como (3,4) satisfaz y>0, a forma explícita da solução é
y = raizx^2 + 7

Resposta

A equação da curva é y^2 = x^2 + 7, ou explicitamente y = raizx^2 + 7.

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