Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dx - x^2,dy = 0
e pede para verificar se ela é separável. O conteúdo aqui é separação de variáveis: precisamos reescrever a equação numa forma em que todos os termos em x fiquem num lado e todos os termos em y no outro, e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
dx = x^2,dy
ou seja
dxdy = x^2

Passo 3

Essa forma já mostra que podemos separar as variáveis: basta colocar todos os fatores de x junto de dx e o dy sozinho do outro lado. Assim, escrevemos
dxx^2 = dy

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral dxx^2 ;=;integral dy
Como
integral x^-2,dx = -,x^-1 + C1 e integral dy = y + C2,
obtemos
-,1x + C1 = y + C2
Podemos juntar as constantes num só C:
-,1x = y + C

Passo 5

Da forma implícita
-,1x = y + C
podemos isolar x e obter a solução explícita:
1x = -,y - C Longrightarrow x = -1,y + C,

Resposta

A equação é separável.
A solução implícita é
-,1x = y + C,
e a solução explícita é
x(y) = -1,y + C,

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