Achar a equação da esfera se um dos seus diâmtros é o segmento A(10,-5,8) e B(2,5,-14).

Passo 1

O enunciado quer a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga A(10,-5,8) a B(2,5,-14). Para resolver isso, vamos: (i) achar o centro usando o ponto médio, (ii) calcular o raio como metade da distância entre A e B e (iii) montar a equação padrão da esfera.

Passo 2

Primeiro, o centro M é o ponto médio de A e B:
M = \Bigl(\frac{10+2}{2},\,\frac{-5+5}{2},\,\frac{8+(-14)}{2}\Bigr) = (6,0,-3).

Passo 3

Agora, o raio r é metade da distância entre A e B. O vetor \overrightarrow{AB} é
\overrightarrow{AB} = (2-10,\,5-(-5),\,-14-8) = (-8,10,-22),
então
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-8)^2 + 10^2 + (-22)^2} = \sqrt{648} = 18\sqrt{2}
e
r = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}, \quad r^2 = (9\sqrt{2})^2 = 162.

Passo 4

A equação padrão da esfera de centro M(x_M,y_M,z_M) e raio r é
(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 + (z - z_M)^2 = r^2.
Substituindo M(6,0,-3) e r^2=162, fica
(x - 6)^2 + (y - 0)^2 + (z + 3)^2 = 162.

Resposta

(x - 6)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 162.

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