Uma partícula se move ao longo de uma curva \sigma(t)=(x(t), y(t)).
(a) Ache a expressão do vetor velocidade V(t);
(b) Se o vetor velocidade é dado por V(t)=\left(1, \frac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}+\frac{2 \cos t}{t^{3}}\right), t>0, determine a posição da partícula em cada instante.
(c) Se a partícula, no instante t=2, passa pelo ponto P_{2}=(3,1), determine os valores das constantes que aparecem no item anterior.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula cuja posição é dada por \sigma(t)=(x(t),y(t)).
Conteúdo:
  • Cálculo do vetor velocidade como derivada de \sigma(t).
  • Recuperação de \sigma(t) integrando o vetor velocidade.
  • Ajuste das constantes de integração usando condição \sigma(2)=(3,1).

Passo 2

Para (a), sabemos que o vetor velocidade é a derivada componente a componente de \sigma(t), isto é,
V(t)=\sigma'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr).

Passo 3

No item (b) é dado
V(t)=\Bigl(1,\;\frac{\sin t}{t^{2}}+\frac{2\cos t}{t^{3}}\Bigr)\,,\quad t>0.
Para achar \sigma(t) basta integrar cada componente:
  1. x'(t)=1
x(t)=\int1\,dt = t + C_{1}.
  1. y'(t)=\frac{\sin t}{t^{2}}+\frac{2\cos t}{t^{3}}.
    Note que
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{\cos t}{t^{2}}\Bigr) =-\frac{\sin t}{t^{2}} - \frac{2\cos t}{t^{3}} = -\Bigl(\frac{\sin t}{t^{2}}+\frac{2\cos t}{t^{3}}\Bigr).
Logo
y(t)=\int \Bigl(\frac{\sin t}{t^{2}}+\frac{2\cos t}{t^{3}}\Bigr)\,dt =-\frac{\cos t}{t^{2}} + C_{2}.
Portanto, de modo geral,
\sigma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\Bigl(t + C_{1},\,-\frac{\cos t}{t^{2}} + C_{2}\Bigr).

Passo 4

Para (c), impomos \sigma(2)=(3,1):
x(2)=2 + C_{1}=3\quad\Longrightarrow\quad C_{1}=1,
y(2)=-\frac{\cos 2}{2^{2}}+C_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=1+\frac{\cos 2}{4}.

Resposta

(a) \displaystyle V(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).
(b) \displaystyle \sigma(t)=\Bigl(t + C_{1},\,-\frac{\cos t}{t^{2}} + C_{2}\Bigr).
(c) \displaystyle C_{1}=1,\quad C_{2}=1+\frac{\cos 2}{4}.

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