(Velocidade inicial diferente de zero) Encontre a deflexão u(x, t ) da corda de comprimento L=\pi e c^{2}=1 para um deslocamento inicial zero e um velocidade inicial “triangular” u_{1}(x, 0)=0,01 x se 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \pi, u_{\mathrm{r}}(x, 0)=0,01(\pi-x) se \frac{1}{2} \pi \leqq x \leqq \pi. (Condições iniciais com u_{1}(x, 0) \neq 0 são diffíceis de se realizar experimentalmente.)

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda unidimensional
u_{tt}=c^{2}u_{xx}
com c^{2}=1, comprimento L=\pi e condições de contorno engastadas
u(0,t)=u(\pi,t)=0.
As condições iniciais são
\;u(x,0)=0,\qquad u_{t}(x,0)=v(x),
onde
v(x)= \begin{cases} 0{,}01\,x, & 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\\\ 0{,}01\,(\pi-x), & \tfrac{\pi}{2}\le x\le \pi. \end{cases}
Vamos usar expansão em senos para resolver.

Passo 2

Procuramos solução na forma de série
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}(t)\,\sin(n x).
Substituindo em u_{tt}=u_{xx} obtém-se
q_{n}''(t)+n^{2}q_{n}(t)=0,
com
q_{n}(0)=0, \qquad q_{n}'(0)=v_{n},
onde
v_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}v(x)\,\sin(n x)\,dx.
A solução de cada modo é
q_{n}(t)=\frac{v_{n}}{n}\,\sin(n\,t),
logo
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{v_{n}}{n}\,\sin(n\,t)\,\sin(n x).

Passo 3

Calculamos agora
v_{n} =\frac{2}{\pi} \Biggl[ \int_{0}^{\pi/2}0{,}01\,x\,\sin(n x)\,dx + \int_{\pi/2}^{\pi}0{,}01\,(\pi-x)\,\sin(n x)\,dx \Biggr].
Notamos que, por simetria, só os n ímpares contribuem, pois
\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(n x)\,dx =(-1)^{n+1}\int_{0}^{\pi/2}y\sin(n y)\,dy.

Passo 4

Usamos a fórmula
\int_{0}^{a}x\sin(n x)\,dx =\frac{\sin(n a)-n a\cos(n a)}{n^{2}}.
Para a=\pi/2 e n=2m-1 (ímpares), tem-se \sin((2m-1)\pi/2)=(-1)^{m-1} e \cos((2m-1)\pi/2)=0. Assim
v_{2m-1} =\frac{2\cdot0{,}01}{\pi}\,2\, \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)^{2}} =\frac{0{,}04}{\pi}\,\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)^{2}},
enquanto v_{n}=0 para n par.

Passo 5

Substituindo em
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{v_{n}}{n}\,\sin(n t)\,\sin(n x)
só ficam termos n=2m-1. Logo
u(x,t) =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{v_{2m-1}}{2m-1}\,\sin\bigl((2m-1)t\bigr)\,\sin\bigl((2m-1)x\bigr) =\frac{0{,}04}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)^{3}} \sin\bigl((2m-1)t\bigr)\,\sin\bigl((2m-1)x\bigr).

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\frac{0{,}04}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)^{3}} \sin\bigl((2m-1)x\bigr)\,\sin\bigl((2m-1)t\bigr) }.

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