Seja
a curva com equações paramétricas
(a) Determine uma parametrização da reta tangente à curva
no ponto
;
(b) Determine uma parametrização da reta normal à curva
no ponto ( 1,2 );
(c) Calcule
sem usar a equação cartesiana de
;
(d) Esboce a curva.
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor em
.)
(b) Determine uma parametrização da reta normal à curva
(c) Calcule
(d) Esboce a curva.
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor em
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida por
e pede:
(a) parametrização da reta tangente em ;
(b) parametrização da reta normal em ;
(c) cálculo de sem usar equação cartesiana;
(d) esboço da curva.
Vamos usar derivadas paramétricas e conhecimentos de geometria analítica de Cálculo 1.
(a) parametrização da reta tangente em
(b) parametrização da reta normal em
(c) cálculo de sem usar equação cartesiana;
(d) esboço da curva.
Vamos usar derivadas paramétricas e conhecimentos de geometria analítica de Cálculo 1.
Passo 2
Identificamos o parâmetro
tal que
e
.
Das condições:
Das condições:
E de fato
, confirmando o ponto.
Passo 3
Calculamos o vetor velocidade
:
Em
obtemos
logo o vetor tangente em
é
.
Passo 4
A reta tangente pode ser parametrizada por
isto é,
Passo 5
O coeficiente angular da reta tangente é
Assim, o coeficiente angular da reta normal é
Logo uma parametrização da reta normal é
isto é,
Passo 6
Para obter
sem equação cartesiana, usamos
Passo 7
Para esboçar a curva, notamos que:
- Para
, , e (tangente quase horizontal). - Para
, .
A curva é monótona crescente eme , passando por com inclinação 1, curvando para cima conforme cresce.
Resposta
(a) Reta tangente:
(b) Reta normal:
(c)
(d) A curva sai de com tangente horizontal, cresce passando por
com inclinação 1 e segue para o primeiro quadrante, curvando para cima.
(d) A curva sai de