Seja C a curva com equações paramétricas
x(t)=1+2 \ln (1+t), y(t)=1+(1+t)^{2}, t>-1
(a) Determine uma parametrização da reta tangente à curva C no ponto (1,2);
(b) Determine uma parametrização da reta normal à curva C no ponto ( 1,2 );
(c) Calcule d y / d x sem usar a equação cartesiana de C;
(d) Esboce a curva.
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor em \mathbb{R}^{2}.)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C definida por
x(t)=1+2\ln(1+t),\quad y(t)=1+(1+t)^{2},\quad t>-1,
e pede:
(a) parametrização da reta tangente em (1,2);
(b) parametrização da reta normal em (1,2);
(c) cálculo de \displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} sem usar equação cartesiana;
(d) esboço da curva.
Vamos usar derivadas paramétricas e conhecimentos de geometria analítica de Cálculo 1.

Passo 2

Identificamos o parâmetro t_{0} tal que x(t_{0})=1 e y(t_{0})=2.
Das condições:
1+2\ln(1+t_{0})=1\implies \ln(1+t_{0})=0\implies 1+t_{0}=1\implies t_{0}=0.
E de fato y(0)=1+1^{2}=2, confirmando o ponto.

Passo 3

Calculamos o vetor velocidade \mathbf r'(t)=(x'(t),y'(t)):
x'(t)=\frac{2}{1+t},\quad y'(t)=2(1+t).
Em t=0 obtemos
x'(0)=2,\quad y'(0)=2,
logo o vetor tangente em (1,2) é (2,2).

Passo 4

A reta tangente pode ser parametrizada por
\mathbf r_{\mathrm{tan}}(s)=(1,2)+s\,(2,2),
isto é,
x=1+2s,\quad y=2+2s.

Passo 5

O coeficiente angular da reta tangente é
m_{\mathrm{tan}}=\frac{y'(0)}{x'(0)}=1.
Assim, o coeficiente angular da reta normal é
m_{\mathrm{norm}}=-\frac{1}{m_{\mathrm{tan}}}=-1.
Logo uma parametrização da reta normal é
\mathbf r_{\mathrm{norm}}(s)=(1,2)+s\,(1,-1),
isto é,
x=1+s,\quad y=2-s.

Passo 6

Para obter \displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} sem equação cartesiana, usamos
\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{y'(t)}{x'(t)} =\frac{2(1+t)}{2/(1+t)} =(1+t)^{2}.

Passo 7

Para esboçar a curva, notamos que:
  • Para t\to-1^{+}, x\to-\infty, y\to1 e \frac{\dd y}{\dd x}\to0 (tangente quase horizontal).
  • Para t\to+\infty, x,y\to+\infty.
    A curva é monótona crescente em x e y, passando por (1,2) com inclinação 1, curvando para cima conforme t cresce.

Resposta

(a) Reta tangente:
x=1+2s,\quad y=2+2s.
(b) Reta normal:
x=1+s,\quad y=2-s.
(c) \displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=(1+t)^{2}.
(d) A curva sai de (-\infty,1) com tangente horizontal, cresce passando por (1,2) com inclinação 1 e segue para o primeiro quadrante, curvando para cima.

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