Achar a equação da esfera que passa pelos pontos
e
e tem o centro no plano
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma esfera que passa pelos pontos (1,–3,4), (1,–5,2) e (1,–3,0) e cujo centro está no plano x+y+z=0. O conteúdo envolve geometria analítica em 3D, usando igualdades de distâncias para determinar o centro e o raio.
Passo 2
Chamamos o centro da esfera de C=(a,b,c). Como C pertence ao plano x+y+z=0, temos a condição
Passo 3
Como a esfera passa pelos três pontos, as distâncias do centro a cada ponto são iguais. Denotemos essas distâncias ao quadrado por
Passo 4
Igualando D1 e D2 (isto é, D_1 = D_2) e simplificando os termos, chegamos à relação
Passo 5
Igualando D1 e D3 (isto é, D_1 = D_3) e simplificando, obtemos
Passo 6
Substituindo c=2 em b+c+1=0 segue b = –3. E usando a+b+c=0 dá a + (–3) + 2 = 0, logo a = 1.
Passo 7
Com a=1, b=–3, c=2, calculamos o raio ao quadrado usando, por exemplo, D1: