Achar a equação da esfera que passa pelos pontos (1,-3,4),(1,-5,2) e (1,-3,0) e tem o centro no plano x+y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera que passa pelos pontos (1,–3,4), (1,–5,2) e (1,–3,0) e cujo centro está no plano x+y+z=0. O conteúdo envolve geometria analítica em 3D, usando igualdades de distâncias para determinar o centro e o raio.

Passo 2

Chamamos o centro da esfera de C=(a,b,c). Como C pertence ao plano x+y+z=0, temos a condição
a+b+c=0

Passo 3

Como a esfera passa pelos três pontos, as distâncias do centro a cada ponto são iguais. Denotemos essas distâncias ao quadrado por
D1 = (a-1)^2 + (b+3)^2 + (c-4)^2,
D2 = (a-1)^2 + (b+5)^2 + (c-2)^2,
D3 = (a-1)^2 + (b+3)^2 + (c-0)^2

Passo 4

Igualando D1 e D2 (isto é, D_1 = D_2) e simplificando os termos, chegamos à relação
b + c + 1 = 0

Passo 5

Igualando D1 e D3 (isto é, D_1 = D_3) e simplificando, obtemos
c = 2

Passo 6

Substituindo c=2 em b+c+1=0 segue b = –3. E usando a+b+c=0 dá a + (–3) + 2 = 0, logo a = 1.

Passo 7

Com a=1, b=–3, c=2, calculamos o raio ao quadrado usando, por exemplo, D1:
r^2 = (1-1)^2 + (-3+3)^2 + (2-4)^2 = 4

Resposta

(x-1)^2 + (y+3)^2 + (z-2)^2 = 4

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