Determinar o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias ao plano
são sempre iguais ao dobro das distâncias ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos $x,y,z)\ tal que a distância ao plano \textit{yz} (que é o plano \;x=0$ seja sempre o dobro da distância ao ponto \(1,-2,2)\. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, mais especificamente as fórmulas de distância ponto–plano e ponto–ponto.
Passo 2
A distância de um ponto \(x,y,z)\ ao plano \;x=0\ é dada por \|x\|, pois a equação do plano é \;x=0$.
A distância de \(x,y,z)\ ao ponto \(1,-2,2)\ vem da fórmula padrão de distância entre dois pontos no espaço: $$
d((x,y,z),(1,-2,2))=\sqrt{(x-1)2+(y+2)2+(z-2)^2}.
$$
Passo 3
Como queremos \|x\| = 2\sqrt{(x-1)2+(y+2)2+(z-2)^2}, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar o valor absoluto e a raiz: $$
x^2 = 4\bigl((x-1)2+(y+2)2+(z-2)^2\bigr).
$$
Passo 4
Expandindo o lado direito e agrupando tudo numa só equação: $$
x^2 = 4x^2 -8x +4 +4(y+2)2+4(z-2)2
$$ $$
0 = 3x^2 -8x +4(y+2)2+4(z-2)2 +4.
$$
Passo 5
Para identificar o tipo de superfície, completamos o quadrado em \;x\:. Primeiro, separe o termo em \;x\: $$
3x^2 -8x = 3\Bigl(x^2 - \frac{8}{3}x\Bigr).
$$ $$
x^2 - \frac{8}{3}x = \Bigl(x - \frac{4}{3}\Bigr)^2 - \frac{16}{9}.
$$ Multiplicando por 3: $$
3\Bigl(x - \frac{4}{3}\Bigr)^2 - \frac{16}{3}.
$$ Substituindo de volta na equação completa: $$
3\Bigl(x - \tfrac{4}{3}\Bigr)^2 - \tfrac{16}{3} +4(y+2)2+4(z-2)2+4=0.
$$
Passo 6
Combine constantes $-\tfrac{16}{3}+4=-\tfrac{4}{3}$ e isole termos quadráticos: $$
3\Bigl(x - \tfrac{4}{3}\Bigr)^2 +4(y+2)2+4(z-2)2 = \tfrac{4}{3}.
$$ Multiplicando ambos os lados por 3: $$
9\Bigl(x - \tfrac{4}{3}\Bigr)^2 +12(y+2)2+12(z-2)2 =4.
$$ Finalmente, dividindo por 4 para chegar à forma padrão: $$
\frac{(x - \tfrac{4}{3})^2}{\tfrac{4}{9}} +\frac{(y+2)^2}{\tfrac{1}{3}} +\frac{(z-2)^2}{\tfrac{1}{3}} =1.
$$
Passo 7
Essa é a equação de um elipsoide centralizado em \(\frac{4}{3},-2,2)\ com semi-eixos \(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3})\.
Resposta
O lugar geométrico é o elipsoide de equação:
$$
\frac{(x - \tfrac{4}{3})^2}{\tfrac{4}{9}}
- \frac{(y + 2)^2}{\tfrac{1}{3}}
- \frac{(z - 2)^2}{\tfrac{1}{3}} = 1.
$$