Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a
valem o dobro de suas distâncias ao eixo dos
.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
tais que a distância até o ponto
seja o dobro da distância até o eixo dos
. Vamos usar conceitos de distância ponto-ponto e distância ponto-reta no espaço.
Passo 2
A distância de
até
é dada por
$$
d((x,y,z),(2,-1,3))=\sqrt{(x-2)2+(y+1)2+(z-3)^2}.
d((x,y,z),eixox)=\sqrt{y2+z2}.
$$
Passo 3
Impondo que a primeira distância valha o dobro da segunda, escrevemos
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Passo 4
Agora expandimos e rearranjamos todos os termos num só lado da igualdade:
Agrupando semelhantes surge
Passo 5
Esse é, portanto, o polinômio que descreve o lugar geométrico procurado, uma superfície quadrática no espaço.
Resposta
x^2 -4x -3y^2 +2y -3z^2 -6z +14 = 0