Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a (2,-1,3) valem o dobro de suas distâncias ao eixo dos x.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) tais que a distância até o ponto (2,-1,3) seja o dobro da distância até o eixo dos x. Vamos usar conceitos de distância ponto-ponto e distância ponto-reta no espaço.

Passo 2

A distância de (x,y,z) até (2,-1,3) é dada por
$$
d((x,y,z),(2,-1,3))=\sqrt{(x-2)2+(y+1)2+(z-3)^2}.
d((x,y,z),(2,-1,3))=raiz(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2 âé
d((x,y,z),eixox)=\sqrt{y2+z2}.
$$

Passo 3

Impondo que a primeira distância valha o dobro da segunda, escrevemos
raiz(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=2raizy^2+z^2
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4,(y^2+z^2)

Passo 4

Agora expandimos e rearranjamos todos os termos num só lado da igualdade:
x^2-4x+4 +y^2+2y+1 +z^2-6z+9 -4y^2-4z^2=0
Agrupando semelhantes surge
x^2 -4x -3y^2 +2y -3z^2 -6z +14 = 0

Passo 5

Esse é, portanto, o polinômio que descreve o lugar geométrico procurado, uma superfície quadrática no espaço.

Resposta

x^2 -4x -3y^2 +2y -3z^2 -6z +14 = 0

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