Achar a equação de um lugar geométrico tal que a diferença das distância de cada um de seus pontos a
e
seja igual a 6 u.c.
Passo 1
O enunciado pede a equação do lugar geométrico em ℝ³ cujos pontos P(x,y,z) satisfazem que a diferença das distâncias a F₁(-4,3,1) e F₂(4,3,1) é 6 u.c. O conteúdo é lugar geométrico definido por diferença de distâncias constante, que em 3D gera um hiperbolóide de duas folhas (ou uma folha se não for valor absoluto). Vamos precisar expressar as distâncias, impor a condição e manipular algébrica e geometricamente para chegar à forma canônica.
Passo 2
Seja P(x,y,z). Calculamos as distâncias
d₁ = distância de P a F₁ =
d₂ = distância de P a F₂ =
A condição do lugar é .
d₁ = distância de P a F₁ =
d₂ = distância de P a F₂ =
A condição do lugar é
Passo 3
Para eliminar as raízes, isolamos e elevamos ao quadrado:
onde
Elevando ao quadrado:
Isolando a raiz e elevando de novo ao quadrado leva a uma equação polinomial em
.
Passo 4
Para simplificar, fazemos mudança de variável centralizando no ponto médio dos focos:
Então
Trabalhando a álgebra (expandindo e simplificando) chega-se a
Então
Trabalhando a álgebra (expandindo e simplificando) chega-se a
Passo 5
Dividindo ambos os lados por 63 obtemos a forma canônica:
Voltando às coordenadas originais:
,
,
.
Este é um hiperbolóide de duas folhas, mas a condição sem valor absoluto ( ) corresponde à folha em que
.
Este é um hiperbolóide de duas folhas, mas a condição sem valor absoluto (