Provar que o lugar geométrico gerado por um ponto, que se desloca de modo tal que a soma de suas distâncias a
e
permanece igual a 8 , é um elipsóide.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de pontos
em
tais que a soma das distâncias a
e
é igual a 8 é um elipsóide. Vamos precisar usar a definição de distância em 3D e a propriedade de elipsóide como lugar geométrico de soma de distâncias constante a dois focos.
Passo 2
Escrevemos as distâncias do ponto
aos focos
e
:
A condição do problema é
.
Passo 3
Para eliminar as raízes, isolamos uma delas e elevamos ao quadrado. Por exemplo,
. Elevando ao quadrado:
Como
, substituímos e cancelamos termos para obter uma expressão sem radicais.
Passo 4
Após substituição, vemos que os termos
aparecem dos dois lados e se cancelam parcialmente. Restam termos em
e uma constante. Ao simplificar, chega-se a:
e, continuando a simplificação, obtemos finalmente
Passo 5
Reconhecemos que a última equação é a forma canônica de um elipsóide centrado em
, com semi-eixo maior
ao longo de
e semi-eixos menores
nas direções
e
. Portanto, o lugar geométrico é realmente um elipsóide.
Resposta
(x-2)^2/7 + y^2/16 + (z-4)^2/7 = 1