Provar que o lugar geométrico gerado por um ponto, que se desloca de modo tal que a soma de suas distâncias a (2,3,4) e (2,-3,4) permanece igual a 8 , é um elipsóide.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de pontos (x,y,z) em R^3 tais que a soma das distâncias a (2,3,4) e (2,-3,4) é igual a 8 é um elipsóide. Vamos precisar usar a definição de distância em 3D e a propriedade de elipsóide como lugar geométrico de soma de distâncias constante a dois focos.

Passo 2

Escrevemos as distâncias do ponto (x,y,z) aos focos F1=(2,3,4) e F2=(2,-3,4):
D1=raiz(x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2,
D2=raiz(x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2
A condição do problema é D1 + D2 = 8.

Passo 3

Para eliminar as raízes, isolamos uma delas e elevamos ao quadrado. Por exemplo, D1 = 8 - D2. Elevando ao quadrado:
D1^2 = (8 - D2)^2 ; longrightarrow; (x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2 = 64 - 16D2 + D2^2
Como D2^2 = (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2, substituímos e cancelamos termos para obter uma expressão sem radicais.

Passo 4

Após substituição, vemos que os termos (x-2)^2+(z-4)^2 aparecem dos dois lados e se cancelam parcialmente. Restam termos em y e uma constante. Ao simplificar, chega-se a:
(y^2 + 9) - (y^2 - 6y +9) = 16D2 - 64
e, continuando a simplificação, obtemos finalmente
(x-2)^27 + y^216 + (z-4)^27 = 1

Passo 5

Reconhecemos que a última equação é a forma canônica de um elipsóide centrado em (2,0,4), com semi-eixo maior a=4 ao longo de y e semi-eixos menores b=c=raiz7 nas direções x e z. Portanto, o lugar geométrico é realmente um elipsóide.

Resposta

(x-2)^2/7 + y^2/16 + (z-4)^2/7 = 1

Exercícios relacionados