Completando os quadrados dos termos em
e
, determinar a natureza da superfície representada pela equação
Passo 1
O enunciado pede pra analisar a superfície quádrica dada por
3x² + 4y² − 2z² + 6x − 16y + 8z = 13.
A ideia é completar o quadrado em x, y e z para levar a equação à forma canônica de superfícies quádricas e daí identificar a natureza (elipse, hiperbolóide, etc.).
3x² + 4y² − 2z² + 6x − 16y + 8z = 13.
A ideia é completar o quadrado em x, y e z para levar a equação à forma canônica de superfícies quádricas e daí identificar a natureza (elipse, hiperbolóide, etc.).
Passo 2
Primeiro, agrupo e completo o quadrado em x. Temos:
Passo 3
Agora completo o quadrado em y. Agrupo:
Passo 4
Em seguida completo o quadrado em z. Agrupo:
Passo 5
Substituo essas expressões na equação original:
Reúno as constantes: -3 - 16 + 8 = -11, então:
Passo -11 pro outro lado:
Passo 6
Divido tudo por 24 pra ficar na forma padrão:
Como há dois termos positivos e um negativo iguais a +1, reconhecemos um hiperbolóide de uma folha, centrado em (-1, 2, 2).
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha, na forma canônica
, centrado em (-1, 2, 2).