Completando os quadrados dos termos em x, y e z, determinar a natureza da superfície representada pela equação
3 x^2+4 y^2-2 z^2+6 x-16 y+8 z=13

Passo 1

O enunciado pede pra analisar a superfície quádric­a dada por
3x² + 4y² − 2z² + 6x − 16y + 8z = 13.
A ideia é completar o quadrado em x, y e z para levar a equação à forma canônica de superfícies quádricas e daí identificar a natureza (elipse, hiperbolóide, etc.).

Passo 2

Primeiro, agrupo e completo o quadrado em x. Temos:
3x^2 + 6x = 3l(x^2 + 2xr) = 3l((x+1)^2 - 1r) = 3(x+1)^2 - 3

Passo 3

Agora completo o quadrado em y. Agrupo:
4y^2 - 16y = 4l(y^2 - 4yr) = 4l((y-2)^2 - 4r) = 4(y-2)^2 - 16

Passo 4

Em seguida completo o quadrado em z. Agrupo:
-2z^2 + 8z = -2l(z^2 - 4zr) = -2l((z-2)^2 - 4r) = -2(z-2)^2 + 8

Passo 5

Substituo essas expressões na equação original:
3(x+1)^2 - 3 + 4(y-2)^2 - 16 - 2(z-2)^2 + 8 = 13
Reúno as constantes: -3 - 16 + 8 = -11, então:
3(x+1)^2 + 4(y-2)^2 - 2(z-2)^2 - 11 = 13
Passo -11 pro outro lado:
3(x+1)^2 + 4(y-2)^2 - 2(z-2)^2 = 24

Passo 6

Divido tudo por 24 pra ficar na forma padrão:
rac(x+1)^28 + rac(y-2)^26 - rac(z-2)^212 = 1
Como há dois termos positivos e um negativo iguais a +1, reconhecemos um hiperbolóide de uma folha, centrado em (-1, 2, 2).

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, na forma canônica (x+1)^28+(y-2)^26-(z-2)^212=1, centrado em (-1, 2, 2).

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