Achar a equação de um parabolóide de vértice em (0,0,0) e eixo O Y, que passa pelos pontos (1,-2,1) e (-3,-3,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um paraboloide com vértice em (0,0,0) e eixo no eixo OY, que passe pelos pontos (1,−2,1) e (−3,−3,2). Vamos usar o conteúdo de formas canônicas de superfícies quadráticas.

Passo 2

Como o eixo é OY e o vértice está na origem, a forma canônica de um paraboloide (elíptico ou hiperbólico) é
y = A x^2 + B z^2
Aqui A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Substituímos os pontos dados na equação para obter um sistema em A e B:
Para (1,−2,1):
-2 = Acdot1^2 + Bcdot1^2 = A + B,
Para (−3,−3,2):
-3 = Acdot(-3)^2 + Bcdot2^2 = 9A + 4B

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
A + B = -2, 9A + 4B = -3
Da primeira equação, B = -2 − A. Substituindo na segunda:
9A + 4(-2 - A) = -3 implies 5A - 8 = -3 implies A = 1
Então B = -2 − 1 = -3.

Passo 5

Portanto a equação do paraboloide é
y = x^2 - 3z^2

Resposta

y = x^2 - 3z^2

Exercícios relacionados