De cada uma das seguintes equações deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
3 x^2+y^2+2 z^2+3 x+3 y+4 z=0.

Passo 1

Enunciado e método: Temos a quadrictica
3 x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} + 3 x + 3 y + 4 z = 0
e queremos deduzir o centro e os comprimentos dos semi-eixos. O conteúdo aqui  Geometria Analítica de superfcies qudricas, e vamos precisar completar quadrados para cada varivel.

Passo 2

Para o termo em x, fatoramos 3 e completamos o quadrado:
3 x^2 + 3 x = 3l(x^2 + xr) = 3l[(x + tfrac12)^2 - tfrac14r] = 3(x + tfrac12)^2 - tfrac34

Passo 3

Para o termo em y, completamos o quadrado diretamente:
y^2 + 3 y = (y + tfrac32)^2 - tfrac94

Passo 4

Para o termo em z, fatoramos 2 e completamos o quadrado:
2 z^2 + 4 z = 2l(z^2 + 2 zr) = 2l[(z + 1)^2 - 1r] = 2(z + 1)^2 - 2

Passo 5

Reunimos tudo na equao original e somamos as constantes:
3(x + tfrac12)^2 - tfrac34 + (y + tfrac32)^2 - tfrac94 + 2(z + 1)^2 - 2 = 0
Calculando as constantes:
-\tfrac34 - \tfrac94 - 2 = -5,
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3(x + tfrac12)^2 + (y + tfrac32)^2 + 2(z + 1)^2 = 5
Dividindo tudo por 5 para obter a forma cannica:
(x + tfrac12)^25/3 + (y + tfrac32)^25 + (z + 1)^25/2 = 1

Passo 6

Identificao do centro e dos semi-eixos: A forma
(x - x0)^2a^2 + (y - y0)^2b^2 + (z - z0)^2c^2 = 1
mostra que o centro  (x0,y0,z0) = (-tfrac12,-tfrac32,-1) e os comprimentos dos semi-eixos so
a = raiz5/3, b = raiz5, c = raiz5/2

Resposta

Centro: (-1/2, -3/2, -1). Semi-eixos: a = \sqrt{5/3}, b = \sqrt{5}, c = \sqrt{5/2}.

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