De cada uma das seguintes equações deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
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Passo 1
Enunciado e método: Temos a quadrictica
3 x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} + 3 x + 3 y + 4 z = 0
e queremos deduzir o centro e os comprimentos dos semi-eixos. O conteúdo aqui Geometria Analítica de superfcies qudricas, e vamos precisar completar quadrados para cada varivel.
Passo 2
Para o termo em x, fatoramos 3 e completamos o quadrado:
Passo 3
Para o termo em y, completamos o quadrado diretamente:
Passo 4
Para o termo em z, fatoramos 2 e completamos o quadrado:
Passo 5
Reunimos tudo na equao original e somamos as constantes:
Calculando as constantes:
-\tfrac34 - \tfrac94 - 2 = -5,
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Dividindo tudo por 5 para obter a forma cannica:
Passo 6
Identificao do centro e dos semi-eixos: A forma
mostra que o centro
e os comprimentos dos semi-eixos so
Resposta
Centro: (-1/2, -3/2, -1). Semi-eixos: a = \sqrt{5/3}, b = \sqrt{5}, c = \sqrt{5/2}.