Achar a equação do plano normal à curva
que passa pela origem das coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação de um plano que é normal à curva definida por
e
, e que passa pela origem (0, 0, 0). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como vetores tangentes e planos normais. Basicamente, vamos descobrir qual é a direção da curva naquele ponto e usar essa direção para definir o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva. Temos duas equações:
Como
, podemos substituir essa expressão na primeira equação para simplificar a curva:
Então, a curva está no plano
e segue onde
. Isso significa que a curva é, na verdade, a linha
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um vetor tangente à curva na origem. Para isso, podemos parametrizar a curva. Vamos deixar
, então
e
. Assim, a parametrização fica:
O vetor tangente é a derivada de
em relação a
:
Na origem, quando
, o vetor tangente é
.
Passo 4
O plano normal à curva na origem terá como vetor normal o vetor tangente que encontramos. Então, o vetor normal ao plano é
.
A equação geral de um plano é dada por:
Onde
é uma constante. Como o plano passa pela origem, substituímos
,
,
:
Então,
.
Passo 5
Com o vetor normal e o valor de
, a equação do plano fica:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano é
.