Achar a equação do plano normal à curva z=x^2-y^2, y=x que passa pela origem das coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação de um plano que é normal à curva definida por e , e que passa pela origem (0, 0, 0). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como vetores tangentes e planos normais. Basicamente, vamos descobrir qual é a direção da curva naquele ponto e usar essa direção para definir o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva. Temos duas equações:
  1. z = x^2 - x^2 = 0
Como , podemos substituir essa expressão na primeira equação para simplificar a curva:
Então, a curva está no plano e segue onde . Isso significa que a curva é, na verdade, a linha no plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor tangente à curva na origem. Para isso, podemos parametrizar a curva. Vamos deixar r(t) = lang<= t, t, 0 rang<= , então r'(t) = lang<= 1, 1, 0 rang<= e . Assim, a parametrização fica:
O vetor tangente é a derivada de em relação a :
Na origem, quando , o vetor tangente é .

Passo 4

O plano normal à curva na origem terá como vetor normal o vetor tangente que encontramos. Então, o vetor normal ao plano é n cdot lang<= x, y, z rang<= = d .
A equação geral de um plano é dada por:
1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = d
Onde é uma constante. Como o plano passa pela origem, substituímos , , :
Então, .

Passo 5

Com o vetor normal e o valor de 1 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z = 0 , a equação do plano fica:
x + y = 0
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é .

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