Encontre a forma para uma solução particular para cada função
descrita na tabela 1.
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Sol. partic. |
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Passo 1
O exercício pede para determinar, para cada termo independente r(x) dado, a forma (ansatz) de uma solução particular y_p(x) usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos usar o fato de que y_p se escolhe como um polinômio em x, senos e cossenos ou exponentiais, ajustado para evitar ressonâncias com as raízes da equação característica de cada EDO.
Passo 2
Para r(x)=8x e^x + 2e^x com EDO y’’ − y = r(x). A equação característica é λ^2 − 1 = 0, com raízes ±1. Como e^x corresponde à raiz λ=1 (simples), multiplicamos por x um polinômio de grau 1. Assim
y_p(x)=(A x^2 + B x)e^x.
y_p(x)=(A x^2 + B x)e^x.
Passo 3
Para r(x)=5e^{−x} sin x + 5x^3 e^{−x} cos x com EDO y’’ + 2y’ + 2y = r(x). A eq. característica λ^2 + 2λ + 2 = 0 tem raízes −1±i. Para cada termo e^{−x}cos/sin há ressonância simples, então multiplicamos por x um polinômio de grau igual ao maior (3) em x para cos e sin. Assim
y_p(x)=x e^{−x}[(A x^3 + B x^2 + C x + D)
cos x + (E x^3 + F x^2 + G x + H)
sin x].
y_p(x)=x e^{−x}[(A x^3 + B x^2 + C x + D)
cos x + (E x^3 + F x^2 + G x + H)
sin x].
Passo 4
Para r(x)=5e^{−x} sin x + 3 + 7x e^{−x} com EDO y’’ + 2y’ + 2y = r(x). Novamente as raízes são −1±i. Temos três partes: (i) 5e^{−x} sin x ressonante simples → x e^{−x}(C cos x + D sin x), (ii) termo constante 3 não ressona → A, (iii) 7x e^{−x} não ressona → polinômio de grau 1 vezes e^{−x}. Juntando:
y_p(x)=A + (B x + C)e^{−x} + x e^{−x}(D cos x + E sin x).
y_p(x)=A + (B x + C)e^{−x} + x e^{−x}(D cos x + E sin x).
Passo 5
Para r(x)=sin x + x cos x + 10 com EDO y’’ + y = r(x). A característica λ^2+1=0 dá ±i. Temos: (i) 10 é constante não ressona → F, (ii) sin x e cos x ressonam simples → multiplicar por x; (iii) x cos x é polinômio de grau 1 vezes cos x, também ressona simples → multiplicar por x e usar polinômio de grau 1. Logo
y_p(x)=F + x[(A x + B)
cos x + (C x + D)
sin x].
y_p(x)=F + x[(A x + B)
cos x + (C x + D)
sin x].
Passo 6
Para r(x)=e^x cos x − x^2 + cos^3 x com EDO y’’ − y’ − 2y = r(x). A eq. característica λ^2−λ−2=0 tem raízes 2 e −1 (todas reais). Então: (i) e^x cos x não ressona → e^x(A cos x + B sin x), (ii) −x^2 polinômio grau 2 não ressona → C x^2 + D x + E, (iii) cos^3 x = (3 cos x + cos3x)/4 gera cos x e cos3x, nenhum ressona → F cos x + G sin x + H cos 3x + I sin 3x. Combinando todos:
y_p(x)=e^x(A cos x + B sin x) + (C x^2 + D x + E) + F cos x + G sin x + H cos 3x + I sin 3x.
y_p(x)=e^x(A cos x + B sin x) + (C x^2 + D x + E) + F cos x + G sin x + H cos 3x + I sin 3x.
Passo 7
Para r(x)=x^2 e^{2x} − e^{2x} com EDO y’’ − 4y’ + 4y = r(x). A característica λ^2−4λ+4=0 tem raiz dupla λ=2. Como r(x)=e{2x}(x2−1) é exponencial com polinômio grau 2, a ressonância é de ordem 2 e multiplicamos o ansatz por x^2. Logo
y_p(x)=x^2 e^{2x}(A x^2 + B x + C).
y_p(x)=x^2 e^{2x}(A x^2 + B x + C).
Resposta
- y_p(x)=(A x^2 + B x)e^x
- y_p(x)=x e^{−x}[(A x^3 + B x^2 + C x + D) cos x + (E x^3 + F x^2 + G x + H) sin x]
- y_p(x)=A + (B x + C)e^{−x} + x e^{−x}(D cos x + E sin x)
- y_p(x)=F + x[(A x + B) cos x + (C x + D) sin x]
- y_p(x)=e^x(A cos x + B sin x) + (C x^2 + D x + E) + F cos x + G sin x + H cos 3x + I sin 3x
- y_p(x)=x^2 e^{2x}(A x^2 + B x + C)