Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha equações paramétricas para a interseção em termos do parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra gente esboçar a curva de interseção de duas superfícies e encontrar equações paramétricas usando
. As equações são:
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies. A primeira equação
representa um plano no espaço. A segunda,
, é a metade superior de uma esfera com raio
centrada na origem, porque o termo dentro da raiz precisa ser positivo.
Passo 3
Para encontrar a interseção, precisamos que ambas as equações sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Então, vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis. Vamos isolar o
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação da esfera para expressar
em termos de
:
Passo 5
Como queremos parametrizar em termos de
, vamos substituir
por
:
Essas são as equações paramétricas da curva de interseção.
Resposta
As equações paramétricas da interseção são:
onde
varia entre
e
.