Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha equações paramétricas para a interseção em termos do parâmetro x=t.
y+x=0 ; z=raiz2-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede pra gente esboçar a curva de interseção de duas superfícies e encontrar equações paramétricas usando x = t. As equações são:
y + x = 0 e z = raiz2 - x^2 - y^2
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies. A primeira equação y + x = 0 representa um plano no espaço. A segunda, z = raiz2 - x^2 - y^2, é a metade superior de uma esfera com raio raiz2 centrada na origem, porque o termo dentro da raiz precisa ser positivo.

Passo 3

Para encontrar a interseção, precisamos que ambas as equações sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Então, vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis. Vamos isolar o y:
y = -x

Passo 4

Agora, substituímos y = -x na equação da esfera para expressar z em termos de x:
z = raiz2 - x^2 - (-x)^2 = raiz2 - x^2 - x^2 = raiz2 - 2x^2 = raiz2(1 - x^2) = raiz2 cdot raiz1 - x^2

Passo 5

Como queremos parametrizar em termos de x = t, vamos substituir x por t:
x = t
y = -t
z = raiz2 - 2t^2
Essas são as equações paramétricas da curva de interseção.

Resposta

As equações paramétricas da interseção são:
x = t
y = -t
z = raiz2 - 2t^2
onde t varia entre -1 e 1.

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