A altura h de um paralelepípedo retângulo diminui a uma taxa de 2 cm / s, enquanto que sua largura l aumenta a uma taxa de 2 cm / s e seu comprimento c aumenta a uma taxa de 1 cm / s. Encontre a taxa de variação para
o volume;
do paralelepípedo retângulo quando h=12 cm, l=5 cm e c=4 cm.

Passo 1

O enunciado diz que temos um paralelepípedo cujas dimensões variam com o tempo: a altura h diminui a 2,cm/s, a largura l cresce a 2,cm/s e o comprimento c cresce a 1,cm/s. Precisamos achar a taxa de variação do volume V quando h=12,cm, l=5,cm e c=4,cm. Essa questão é de taxas relacionadas e vai usar derivada de produto.

Passo 2

O volume de um paralelepípedo retângulo é dado por
V = h,l,c

Passo 3

Para achar dVdt, aplicamos a regra do produto estendida a três fatores. Ou seja, derivamos em relação a t mantendo dois fatores fixos e somamos:
dVdt = l,c,dhdt + h,c,dldt + h,l,dcdt

Passo 4

Agora substituímos os valores dados no instante considerado: h=12, l=5, c=4, dh/dt=-2, dl/dt=2, dc/dt=1.
Calculamos cada termo:
l,c,dhdt = 5 times 4 times (-2) = -40
h,c,dldt = 12 times 4 times 2 = 96
h,l,dcdt = 12 times 5 times 1 = 60

Passo 5

Somando tudo:
dVdt = -40 + 96 + 60 = 116

Passo 6

Portanto, no instante indicado, o volume está aumentando a 116,cm^3/s.

Resposta

dVdt = 116,cm^3/s.

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