Achar as equações de cada uma das caras do tetraedro de vêrtices (1,2,3),(1,-2,3),(1,2,-3) e (-1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro com vértices
A=(1,2,3), B=(1,-2,3), C=(1,2,-3), D=(-1,1,1)
e pede as equações das quatro faces (planos) que passam por cada trio de pontos. Para cada face, vamos (1) formar dois vetores no plano, (2) calcular o vetor normal por produto vetorial e (3) usar a forma
nx(x-x0)+ny(y-y0)+nz(z-z0)=0
para obter a x + b y + c z + d=0.

Passo 2

Face ABC: escolha A como ponto de referência.
AB=B-A=(0,-4,0), AC=C-A=(0,0,-6)
O vetor normal é
n=ABtimesAC=(24,0,0)sim(1,0,0)
Logo a equação é
1,(x-1)+0,(y-2)+0,(z-3)=0 Longrightarrow x=1

Passo 3

Face ABD: use A.
AB=(0,-4,0), AD=D-A=(-2,-1,-2)
Então
n=(0,-4,0)times(-2,-1,-2)=(8,0,-8)sim(1,0,-1)
A equação é
1,(x-1)+0,(y-2)-1,(z-3)=0 Longrightarrow x-z+2=0

Passo 4

Face ACD: use A.
AC=(0,0,-6), AD=(-2,-1,-2)
Logo
n=(0,0,-6)times(-2,-1,-2)=(-6,12,0)sim(1,-2,0)
A equação é
1,(x-1)-2,(y-2)+0,(z-3)=0 Longrightarrow x-2y+3=0

Passo 5

Face BCD: use B.
BC=C-B=(0,4,-6), BD=D-B=(-2,3,-2)
Então
n=(0,4,-6)times(-2,3,-2)=(10,12,8)sim(5,6,4)
A equação é
5,(x-1)+6,(y+2)+4,(z-3)=0 Longrightarrow 5x+6y+4z-5=0

Resposta

As equações das faces do tetraedro são:
x=1,
x - z +2=0,
x - 2y +3=0 e
5x +6y +4z -5=0.

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