Dados e , achar todos os pontos tal que à área do triângulo seja 5 .
Passo 1
O enunciado pede todos os pontos tais que a área do triângulo seja . O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: vamos usar a relação entre a área de um triângulo, o comprimento do lado e a distância do ponto à reta .
Passo 2
Para qualquer triângulo, a área satisfaz
Aqui a base é de comprimento lvert ABrvert e a altura é a distância d de P à reta AB. Logo
O conjunto de todos os pontos a uma distância fixa d de uma reta é um cilindro circular reto cujo eixo é essa reta. Assim, o locus de P é o cilindro de eixo passando por A e B e raio
10raiz14,
isto é,
distl(P,reta ABr)=10raiz14
Passo 6
Em coordenadas, seja u=AB=lang<=1,3,-2rang<= e AP=lang<= x-2,;y+1,;z-3rang<=. A distância de P a AB satisfaz