Dados A(2,-1,3) e B(3,2,1), achar todos os pontos P(x, y, z) tal que à área do triângulo A B P seja 5 .

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos P(x,y,z) tais que a área do triângulo ABP seja 5. O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: vamos usar a relação entre a área de um triângulo, o comprimento do lado AB e a distância do ponto P à reta AB.

Passo 2

Para qualquer triângulo, a área satisfaz
área=tfrac12;(base);(a<ura) á
Aqui a base é AB de comprimento lvert ABrvert e a altura é a distância d de P à reta AB. Logo
12,lvert ABrvert,d=5 Longrightarrow d=10lvert ABrvert

Passo 3

Calculamos o vetor
AB=lang<=3-2,;2-(-1),;1-3rang<==lang<=1,3,-2rang<=
e seu comprimento
lvert ABrvert=raiz1^2+3^2+(-2)^2=raiz14

Passo 4

Substituindo em d=tfrac10lvert ABrvert obtemos
d=10raiz14=10raiz1414=5raiz147

Passo 5

O conjunto de todos os pontos a uma distância fixa d de uma reta é um cilindro circular reto cujo eixo é essa reta. Assim, o locus de P é o cilindro de eixo passando por A e B e raio
10raiz14,
isto é,
distl(P,reta ABr)=10raiz14

Passo 6

Em coordenadas, seja u=AB=lang<=1,3,-2rang<= e AP=lang<= x-2,;y+1,;z-3rang<=. A distância de P a AB satisfaz
llvertAPtimesurrvertlverturvert =10raiz14 Long<=ftrightarrow llvertAPtimesurrvert=10
Elevando ao quadrado e calculando o produto vetorial, chega-se à equação cartesiana
(-3z-2y+7)^2+(2x+z-7)^2+(3x-y-7)^2=100,
que descreve o mesmo cilindro.

Resposta

O conjunto dos pontos P(x,y,z) tais que a área do triângulo ABP é 5 é o cilindro de eixo a reta que passa por A(2,-1,3) e B(3,2,1) e raio
10raiz14,
cuja equação cartesiana pode ser escrita como
(-3z-2y+7)^2+(2x+z-7)^2+(3x-y-7)^2=100

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