Provar que pelo ponto (-3,1,5) pasan infinitos planos perpendiculares ao plano 3 x-2 y+4 z=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existem infinitos planos que passam pelo ponto P(-3,1,5) e que são perpendiculares ao plano
pi:3x-2y+4z=-1
Conteúdo: saber que duas retas ou planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares (produto escalar nulo). Vamos usar produto escalar e a forma geral de equação de um plano.

Passo 2

Se dois planos
pi1: A x + B y + C z + D = 0, pi2: A' x + B' y + C' z + D' = 0
são perpendiculares, então seus vetores normais n1=(A,B,C) e n2=(A',B',C') satisfazem
n1cdotn2 = 0
No nosso caso, n1 = (3,-2,4) e queremos n2=(a,b,c) tal que
3a - 2b + 4c = 0

Passo 3

Além de satisfazer 3a - 2b + 4c = 0, o plano deve passar pelo ponto P(-3,1,5). A equação geral de um plano com normal (a,b,c) que passa por P é
a,(x - x0) + b,(y - y0) + c,(z - z0) = 0,
onde (x0,y0,z0)=(-3,1,5). Logo os planos candidatos são
pia,b,c:;a(x+3)+b(y-1)+c(z-5)=0
com (a,b,c)neq(0,0,0) e 3a-2b+4c=0.

Passo 4

A equação linear 3a - 2b + 4c = 0 em (a,b,c) tem infinitas soluções (é um plano no espaço (a,b,c)). Para cada escolha não trivial de (a,b,c) obtemos um plano diferente pia,b,c. Isso mostra que há infinitos planos que passam por P e são perpendiculares a pi.

Resposta

Pelo ponto (-3,1,5) passam infinitos planos perpendiculares ao plano 3x-2y+4z=-1, porquanto existe infinitas escolhas de vetores (a,b,c)neq(0,0,0) satisfazendo 3a-2b+4c=0, e cada uma gera um plano
a(x+3)+b(y-1)+c(z-5)=0

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