Provar que pelo ponto
pasan infinitos planos perpendiculares ao plano
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existem infinitos planos que passam pelo ponto
e que são perpendiculares ao plano
Conteúdo: saber que duas retas ou planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares (produto escalar nulo). Vamos usar produto escalar e a forma geral de equação de um plano.
Passo 2
Se dois planos
são perpendiculares, então seus vetores normais
e
satisfazem
No nosso caso,
e queremos
tal que
Passo 3
Além de satisfazer
, o plano deve passar pelo ponto
. A equação geral de um plano com normal
que passa por
é
onde
. Logo os planos candidatos são
com
e
.
Passo 4
A equação linear
em
tem infinitas soluções (é um plano no espaço
). Para cada escolha não trivial de
obtemos um plano diferente
. Isso mostra que há infinitos planos que passam por
e são perpendiculares a
.
Resposta
Pelo ponto
passam infinitos planos perpendiculares ao plano
, porquanto existe infinitas escolhas de vetores
satisfazendo
, e cada uma gera um plano