Considere o campo vetorial
onde
.
Obtenha uma função potencial para o campo
.
Obtenha uma função potencial para o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por:
Onde:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de campos vetoriais conservativos e função potencial. Para encontrar uma função potencial
tal que
, precisamos integrar cada componente do campo vetorial respeitando algumas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que:
Para que isso seja verdade, as derivadas cruzadas devem ser iguais. Isso significa que:
Vamos calcular essas derivadas para confirmar.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Vamos verificar
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Novamente,
, então a segunda condição também é atendida.
Passo 5
Por último, vamos verificar
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Mais uma vez,
, confirmando que todas as condições são satisfeitas. Portanto, o campo vetorial é conservativo e podemos encontrar uma função potencial.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende de
e
.
Integrando
:
Para integrar
, fazemos a substituição
, então
:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos determinar
. Para isso, usamos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Isso significa que
não depende de
, ou seja,
.
Passo 8
Agora, vamos usar a derivada parcial de
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração que podemos ignorar na função potencial.
Resposta
A função potencial para o campo vetorial
é: