Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k
onde P(x, y, z)=2 x y ln (z^2+1)+y e^x y, Q(x, y, z)=x^2 ln (z^2+1)+x e^x y e R(x, y, z)=2 x^2 y zz^2+1+1.
Obtenha uma função potencial para o campo F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por:
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
Onde:
  • P(x, y, z) = 2xy ln(z^2+1) + y e^xy
  • Q(x, y, z) = x^2 ln(z^2+1) + x e^xy
  • R(x, y, z) = 2x^2 y zz^2+1 + 1
O conteúdo que vamos usar aqui é o de campos vetoriais conservativos e função potencial. Para encontrar uma função potencial f(x, y, z) tal que F = nabla f , precisamos integrar cada componente do campo vetorial respeitando algumas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial f tal que:
F = nabla f
Para que isso seja verdade, as derivadas cruzadas devem ser iguais. Isso significa que:
partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y
Vamos calcular essas derivadas para confirmar.

Passo 3

Calculando partial Ppartial y :
partialpartial y(2xy ln(z^2+1) + y e^xy) = 2x ln(z^2+1) + 2xy cdot 0 + e^xy + xy e^xy = 2x ln(z^2+1) + e^xy(1 + xy)
Calculando partial Qpartial x :
partialpartial x(x^2 ln(z^2+1) + x e^xy) = 2x ln(z^2+1) + x^2 cdot 0 + e^xy + xy e^xy = 2x ln(z^2+1) + e^xy(1 + xy)
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x , a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Vamos verificar partial Ppartial z e partial Rpartial x .
Calculando partial Ppartial z :
partialpartial z(2xy ln(z^2+1) + y e^xy) = 2xy cdot 2zz^2+1 + 0 = 4xyzz^2+1
Calculando partial Rpartial x :
partialpartial x(2x^2 y zz^2+1 + 1) = 4xy zz^2+1 + 0 = 4xy zz^2+1
Novamente, partial Ppartial z = partial Rpartial x , então a segunda condição também é atendida.

Passo 5

Por último, vamos verificar partial Qpartial z e partial Rpartial y .
Calculando partial Qpartial z :
partialpartial z(x^2 ln(z^2+1) + x e^xy) = x^2 cdot 2zz^2+1 + 0 = 2x^2 zz^2+1
Calculando partial Rpartial y :
partialpartial y(2x^2 y zz^2+1 + 1) = 2x^2 zz^2+1 + 0 = 2x^2 zz^2+1
Mais uma vez, partial Qpartial z = partial Rpartial y , confirmando que todas as condições são satisfeitas. Portanto, o campo vetorial é conservativo e podemos encontrar uma função potencial.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y, z) . Para isso, integramos P em relação a x :
f(x, y, z) = integral P(x, y, z) , dx + g(y, z)
Onde g(y, z) é uma função que depende de y e z .
Integrando P :
integral (2xy ln(z^2+1) + y e^xy) dx = y ln(z^2+1) x^2 + integral y e^xy dx
Para integrar integral y e^xy dx , fazemos a substituição u = xy , então du = y dx :
integral y e^xy dx = integral e^u du = e^xy + C
Portanto:
f(x, y, z) = y ln(z^2+1) x^2 + e^xy + g(y, z)

Passo 7

Agora, vamos determinar g(y, z) . Para isso, usamos a derivada parcial de f em relação a y e igualamos a Q(x, y, z) :
partial fpartial y = partialpartial y(y ln(z^2+1) x^2 + e^xy + g(y, z)) = ln(z^2+1) x^2 + x e^xy + partial gpartial y
Igualando a Q(x, y, z) :
ln(z^2+1) x^2 + x e^xy + partial gpartial y = x^2 ln(z^2+1) + x e^xy
Simplificando:
partial gpartial y = 0
Isso significa que g não depende de y , ou seja, g = g(z) .

Passo 8

Agora, vamos usar a derivada parcial de f em relação a z e igualar a R(x, y, z) :
partial fpartial z = partialpartial z(y ln(z^2+1) x^2 + e^xy + g(z)) = y x^2 cdot 2zz^2+1 + dgdz
Igualando a R(x, y, z) :
2x^2 y zz^2+1 + dgdz = 2x^2 y zz^2+1 + 1
Simplificando:
dgdz = 1
Integrando em relação a z :
g(z) = z + C
Onde C é uma constante de integração que podemos ignorar na função potencial.

Resposta

A função potencial para o campo vetorial F é:
f(x, y, z) = x^2 y ln(z^2+1) + e^xy + z

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