Achar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A (−1,3,2) e B (3,0,−5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelos pontos $ A(-1, 3, 2) $ e $ B(3, 0, -5) $. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente tratando de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar:
  • As coordenadas dos dois pontos $ A $ e $ B $.
  • Entender como encontrar uma direção para a reta usando vetores.
  • Aplicar a fórmula das equações paramétricas de uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta segue e é encontrado subtraindo as coordenadas de um ponto pelo outro. Então, calculamos o vetor $ \vec{AB} $ assim:
AB
Esse vetor $ \vec{AB} = (4, -3, -7) $ nos dá a direção da reta.

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, podemos usar a fórmula das equações paramétricas de uma reta no espaço. A fórmula geral é:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas de um ponto na reta (pode ser $ A $ ou $ B $) e $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor diretor.

Passo 4

Vamos escolher o ponto $ A(-1, 3, 2) $ para usar na fórmula. Substituindo os valores, temos:
A(-1, 3, 2)
Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta que passa pelos pontos $ A(-1, 3, 2) $ e $ B(3, 0, -5) $ são:
A(-1, 3, 2)
Onde $ t $ é um número real que varia ao longo da reta.

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