Achar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A (−1,3,2) e B (3,0,−5).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelos pontos $ A(-1, 3, 2) $ e $ B(3, 0, -5) $. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente tratando de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar:
- As coordenadas dos dois pontos $ A $ e $ B $.
- Entender como encontrar uma direção para a reta usando vetores.
- Aplicar a fórmula das equações paramétricas de uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta segue e é encontrado subtraindo as coordenadas de um ponto pelo outro. Então, calculamos o vetor $ \vec{AB} $ assim:
Esse vetor $ \vec{AB} = (4, -3, -7) $ nos dá a direção da reta.
Passo 3
Agora que temos o vetor diretor, podemos usar a fórmula das equações paramétricas de uma reta no espaço. A fórmula geral é:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas de um ponto na reta (pode ser $ A $ ou $ B $) e $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor diretor.
Passo 4
Vamos escolher o ponto $ A(-1, 3, 2) $ para usar na fórmula. Substituindo os valores, temos:
Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Resposta
As equações paramétricas da reta que passa pelos pontos $ A(-1, 3, 2) $ e $ B(3, 0, -5) $ são:
Onde $ t $ é um número real que varia ao longo da reta.