Considerando o campo escalar, tem-se: \varphi(x, y, z)=x y^{2} z e \vec{A}=x z \hat{i}-x y^{2} \hat{j}+y z^{2} \hat{k}, achar: \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi \vec{A}) no ponto (2,-1,1).
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar \varphi e o campo vetorial \vec{A} e pede a derivada mista \dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi \vec{A}) no ponto (2,-1,1).
O que é pedido:
Calcular o vetor \dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi \vec{A}) e então avaliá‑lo no ponto (2,-1,1).
Passo 2
Vamos explicar como interpretar e calcular essa derivada de forma segura e passo a passo.
Interpretação do operador: \dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} significa primeiro aplicar \dfrac{\partial}{\partial x} e depois aplicar \dfrac{\partial}{\partial y}. Em símbolos:
\dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi\vec{A}) = \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(\varphi\vec{A})\right).
Regra para produto escalar × vetor: a derivada parcial age componente a componente, e vale a versão vetorial da regra do produto. Para derivada em x:
Mas para simplificar os cálculos em prova é mais direto multiplicar as componentes de \varphi\vec{A} e daí derivar cada componente separadamente — é equivalente e menos sujeito a erro.
Lembra que derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes. Por exemplo, ao derivar em x, y e z são constantes; ao derivar em y, x e z são constantes.
Com isso, a estratégia escolhida (simples e segura) é:
calcular as três componentes de \varphi\vec{A},
calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de cada componente,