Considerando o campo escalar, tem-se:
\varphi(x, y, z)=x y^{2} z e \vec{A}=x z \hat{i}-x y^{2} \hat{j}+y z^{2} \hat{k}, achar:
\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi \vec{A}) no ponto (2,-1,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar \varphi e o campo vetorial \vec{A} e pede a derivada mista \dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi \vec{A}) no ponto (2,-1,1).
Informações dadas:
\varphi(x,y,z)=x y^{2} z
\vec{A}(x,y,z)=x z\,\hat{i}-x y^{2}\,\hat{j}+y z^{2}\,\hat{k}
O que é pedido:
Calcular o vetor \dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi \vec{A}) e então avaliá‑lo no ponto (2,-1,1).

Passo 2

Vamos explicar como interpretar e calcular essa derivada de forma segura e passo a passo.
  1. Interpretação do operador: \dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x} significa primeiro aplicar \dfrac{\partial}{\partial x} e depois aplicar \dfrac{\partial}{\partial y}. Em símbolos:
\dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi\vec{A}) = \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(\varphi\vec{A})\right).
  1. Regra para produto escalar × vetor: a derivada parcial age componente a componente, e vale a versão vetorial da regra do produto. Para derivada em x:
\dfrac{\partial}{\partial x}(\varphi\vec{A}) = \left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\vec{A} +\varphi\left(\dfrac{\partial\vec{A}}{\partial x}\right).
Mas para simplificar os cálculos em prova é mais direto multiplicar as componentes de \varphi\vec{A} e daí derivar cada componente separadamente — é equivalente e menos sujeito a erro.
  1. Lembra que derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes. Por exemplo, ao derivar em x, y e z são constantes; ao derivar em y, x e z são constantes.
Com isso, a estratégia escolhida (simples e segura) é:
  • calcular as três componentes de \varphi\vec{A},
  • calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de cada componente,
  • aplicar \dfrac{\partial}{\partial y} nesses resultados,
  • finalmente avaliar em (2,-1,1).

Passo 3

Calcular as componentes de \varphi\vec{A} (produto escalar \times vetor, componente a componente):
A componente i:
(\varphi A_x)=\varphi\cdot(xz)= (x y^{2} z)\cdot(x z)= x^{2} y^{2} z^{2}.
A componente j:
(\varphi A_y)=\varphi\cdot(-x y^{2})=(x y^{2} z)\cdot(-x y^{2})= -x^{2} y^{4} z.
A componente k:
(\varphi A_z)=\varphi\cdot(y z^{2})=(x y^{2} z)\cdot(y z^{2})= x y^{3} z^{3}.
Portanto
\varphi\vec{A} = x^{2} y^{2} z^{2}\,\hat{i} - x^{2} y^{4} z\,\hat{j} + x y^{3} z^{3}\,\hat{k}.

Passo 4

Calcular primeiro \dfrac{\partial}{\partial x}(\varphi\vec{A}) componente a componente. Lembre: ao derivar em x, tratamos y e z como constantes.
Componente i:
\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(x^{2} y^{2} z^{2}\right) = 2x\, y^{2} z^{2}.
Expliquei: derivada de x^{2} em relação a x é 2x; multiplicamos pelo fator constante y^{2}z^{2}.
Componente j:
\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(-x^{2} y^{4} z\right) = -2x\, y^{4} z.
Derivada de -x^{2} é -2x, os outros fatores são constantes.
Componente k:
\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(x y^{3} z^{3}\right) = 1\cdot y^{3} z^{3}= y^{3} z^{3}.
Derivada de x em relação a x é 1.
Assim
\dfrac{\partial}{\partial x}(\varphi\vec{A}) = 2x y^{2} z^{2}\,\hat{i} - 2x y^{4} z\,\hat{j} + y^{3} z^{3}\,\hat{k}.

Passo 5

Agora aplicamos \dfrac{\partial}{\partial y} ao vetor acima (ou seja, derivamos em y cada componente). Ao derivar em y, x e z são constantes.
Componente i:
\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(2x y^{2} z^{2}\right) = 2x \cdot 2y \cdot z^{2} = 4x y z^{2}.
Expliquei: 2x z^{2} é constante multiplicando y^{2}, então derivada de y^{2} é 2y.
Componente j:
\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(-2x y^{4} z\right) = -2x z \cdot 4y^{3} = -8x y^{3} z.
Derivada de y^{4} é 4y^{3}; multiplicamos pelo restante -2x z.
Componente k:
\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(y^{3} z^{3}\right) = 3y^{2} z^{3}.
Derivada de y^{3} é 3y^{2}; z^{3} é constante.
Portanto a derivada mista é
\dfrac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}(\varphi\vec{A}) = 4x y z^{2}\,\hat{i} - 8x y^{3} z\,\hat{j} + 3y^{2} z^{3}\,\hat{k}.

Passo 6

Agora avaliamos o vetor em (x,y,z)=(2,-1,1). Substituindo:
Componente i:
4x y z^{2}\Big|_{(2,-1,1)} = 4\cdot 2\cdot(-1)\cdot 1^{2} = 8\cdot(-1)= -8.
Componente j:
-8x y^{3} z\Big|_{(2,-1,1)} = -8\cdot 2\cdot(-1)^{3}\cdot 1 = -16\cdot(-1)=16.
Componente k:
3y^{2} z^{3}\Big|_{(2,-1,1)} = 3\cdot(-1)^{2}\cdot 1^{3} = 3\cdot 1\cdot 1 = 3.
Portanto no ponto dado o vetor é -8\,\hat{i}+16\,\hat{j}+3\,\hat{k}.

Resposta

\langle -8,\,16,\,3\rangle

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