Achar as equações da reta que intercepta as retas r_{1} e r_{2} e é perpendicular a ambas.
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\\ y=2+3 t \\\ z=4 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R} ;\right.
r_{2}: x+1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r_{1} em forma paramétrica
r_{1}(t) = (1+t,\;2+3t,\;4t),\quad t\in\mathbb{R},
e r_{2} em forma simétrica
x+1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}.
Queremos a reta que intercepta ambas e é perpendicular a cada uma, isto é, o perpendicular comum às duas retas.

Passo 2

Primeiro extraímos os vetores diretores e um ponto de cada reta:
\overrightarrow{v_{1}}=(1,3,4) para r_{1} (ponto P_{1}(t)=(1+t,2+3t,4t))
e para r_{2} parametrize por s:
x=-1+s,\quad y=1+2s,\quad z=2+3s,
de modo que \overrightarrow{v_{2}}=(1,2,3) e um ponto é Q_{2}(s)=(-1+s,1+2s,2+3s).
O vetor direção da reta comum perpendicular é
\overrightarrow{n} \;=\;\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}} \;=\;(1,3,4)\times(1,2,3) \;=\;(1,1,-1).

Passo 3

Seja P_{1}=r_{1}(t) e Q_{2}=r_{2}(s). A condição de que P_{1}Q_{2} seja paralelo a \overrightarrow{n}=(1,1,-1) equivale a
Q_{2}-P_{1} \;=\;\lambda\,(1,1,-1)
para algum \lambda. Escrevendo componentes:
(-1+s)-(1+t)=\lambda,\quad (1+2s)-(2+3t)=\lambda,\quad (2+3s)-(4t)=-\lambda.
Isso gera o sistema em s,t,\lambda.

Passo 4

Igualando as duas primeiras expressões para \lambda:
s - t -2 \;=\;2s -3t -1 \quad\Longrightarrow\quad s -2t = -1.
Igualando a primeira com a negativa da terceira:
s - t -2 \;=\;-\,\bigl(2+3s -4t\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 4s =5t.
Resolvendo
s =2t -1,\quad s=\tfrac{5}{4}t \quad\Longrightarrow\quad t=\tfrac{4}{3},\;s=\tfrac{5}{3}.

Passo 5

Substituindo em P_{1} e Q_{2}:
P_{1} = \bigl(1+\tfrac{4}{3},\,2+3\cdot\tfrac{4}{3},\,4\cdot\tfrac{4}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{7}{3},6,\tfrac{16}{3}\bigr),
Q_{2} = \bigl(-1+\tfrac{5}{3},\,1+2\cdot\tfrac{5}{3},\,2+3\cdot\tfrac{5}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{13}{3},7\bigr).
De fato Q_{2}-P_{1}=(-\tfrac{5}{3},-\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3})=-\tfrac{5}{3}(1,1,-1), paralelo a \overrightarrow{n}.

Passo 6

A reta comum perpendicular passa por P_{1}(\tfrac{7}{3},6,\tfrac{16}{3}) e tem direção (1,1,-1). Em forma paramétrica:
\boxed{ \ell:\; \begin{cases} x = \tfrac{7}{3} + \lambda,\\\ y = 6 + \lambda,\\\ z = \tfrac{16}{3} - \lambda, \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}. }

Resposta

\ell:\; \begin{cases} x = \tfrac{7}{3} + \lambda,\\\ y = 6 + \lambda,\\\ z = \tfrac{16}{3} - \lambda, \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}.

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