Calcular as integrais e, em seguida, derivar as respostas para verificar os resultados:
\int\left(\sqrt{2 y}-\frac{1}{\sqrt{2 y}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)\,dx
onde a integração é em relação a x. Note que y é uma constante quando integramos em x.

Passo 2

Definimos a “constante”
k = \sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}.
Como k não depende de x, vale
\int k\,dx = k\,x + C.
Substituindo k de volta, obtemos
\int\Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)\,dx = \Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)x + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos
F(x) = \Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)x + C
em relação a x. Como \sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}} é constante em x,
\frac{dF}{dx} = \sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}},
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\int\Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)\,dx = \Bigl(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2y}}\Bigr)x + C,
e sua derivada confirma o resultado.

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