Questão 34. Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém o ponto P(2,-1,1) e é
concorrente com as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 \alpha \\\ y=1+\alpha \\\ z=4-\alpha \end{array}, \alpha \in \mathbb{R} ; \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=\beta \\\ y=3+4 \beta \\\ z=1+2 \beta \end{array}, \beta \in \mathbb{R} .\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta t\) que passa por \(P(2,-1,1)\) e intersecta as retas \[r:\begin{cases} x=1+2\alpha\\\ y=1+\alpha\\\ z=4-\alpha \end{cases},\quad s:\begin{cases} x=\beta\\\ y=3+4\beta\\\ z=1+2\beta \end{cases}.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos usar parâmetros \alpha,\beta\] para representar pontos em \(r e s e impor que esses pontos e P sejam colineares.

Passo 2

Seja
A(\alpha)=\bigl(1+2\alpha,\;1+\alpha,\;4-\alpha\bigr)
um ponto genérico de r e
B(\beta)=\bigl(\beta,\;3+4\beta,\;1+2\beta\bigr)
um ponto genérico de s.
Então
\overrightarrow{PA}=A(\alpha)-P =(1+2\alpha-2,\;1+\alpha+1,\;4-\alpha-1) =(2\alpha-1,\;\alpha+2,\;3-\alpha)
e
\overrightarrow{PB}=B(\beta)-P =(\beta-2,\;3+4\beta+1,\;1+2\beta-1) =(\beta-2,\;4\beta+4,\;2\beta).

Passo 3

Para que P, A e B sejam colineares, deve existir \lambda\in\mathbb{R} tal que
\overrightarrow{PB} =\lambda\,\overrightarrow{PA}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \beta-2=\lambda(2\alpha-1),\\\\ 4\beta+4=\lambda(\alpha+2),\\\\ 2\beta=\lambda(3-\alpha). \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação obtemos
\lambda=\frac{2\beta}{3-\alpha},
substituindo nas duas primeiras e eliminando \lambda, chega-se a
\alpha=\tfrac{9}{8} e \beta=-6.

Passo 5

Com \alpha=\tfrac{9}{8} temos
A\Bigl(\tfrac{9}{8}\Bigr) =\bigl(1+2\cdot\tfrac{9}{8},\,1+\tfrac{9}{8},\,4-\tfrac{9}{8}\bigr) =\Bigl(\tfrac{13}{4},\,\tfrac{17}{8},\,\tfrac{23}{8}\Bigr).
Então
\overrightarrow{PA} =\Bigl(\tfrac{13}{4}-2,\;\tfrac{17}{8}+1,\;\tfrac{23}{8}-1\Bigr) =\Bigl(\tfrac{5}{4},\,\tfrac{25}{8},\,\tfrac{15}{8}\Bigr) \sim(2,5,3).
Logo a reta t tem vetor diretor (2,5,3) e passa por P(2,-1,1).

Resposta

A equação vetorial de t é
\mathbf r(t) =(2,-1,1)+t\,(2,5,3),\quad t\in\mathbb{R}.

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