Questão 28. Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}, de forma que |\vec{u}|=2,|\vec{v}|=3 e \vec{u} \cdot \vec{v}=3 \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}. Sabemos que, em geral, essa área é
\text{Área} = \bigl|\vec{u}\bigr|\;\bigl|\vec{v}\bigr|\;\sin\theta,Á
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Temos \bigl|\vec{u}\bigr|=2, \bigl|\vec{v}\bigr|=3 e \vec{u}\cdot\vec{v}=3\sqrt{2}. Vamos achar primeiro \cos\theta e depois \sin\theta.

Passo 2

Usamos a definição do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} =\bigl|\vec{u}\bigr|\;\bigl|\vec{v}\bigr|\;\cos\theta.
Substituindo os valores conhecidos:
3\sqrt{2} =2\cdot 3\cdot \cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta =\frac{3\sqrt{2}}{6} =\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Para obter \sin\theta, usamos a identidade trigonométrica
\sin^2\theta =1-\cos^2\theta.
Como \cos\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
\sin^2\theta =1-\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2 =1-\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{2},
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\sin\theta =\sqrt{\tfrac{1}{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Finalmente, a área do paralelogramo é
\text{Área} =\bigl|\vec{u}\bigr|\;\bigl|\vec{v}\bigr|\;\sin\theta =2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =3\sqrt{2}.Á

Resposta

A área do paralelogramo é 3\sqrt{2}.

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