Achar estudar os extremos das seguintes funções:
f(x, y)=x^{3}-2 x y^{2}-x^{2}+4 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}-2x y^{2}-x^{2}+4y^{2}
e pede para “achar e estudar os extremos” — isto é, encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada um como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Vou listar as informações que temos:
  • A função f é definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Precisamos:
    • achar todos os pontos (x,y) tais que \nabla f(x,y)=0;
    • classificar cada ponto crítico (usar o teste das segundas derivadas / Hessiana);
    • verificar se há extremos globais (máximo ou mínimo absoluto).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais (isto é, o gradiente). Uma breve aulinha: a derivada parcial \partial f/\partial x mede como f varia quando só x muda e y fica fixo; similar para \partial f/\partial y. Vamos calcular:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-2y^{2}-2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-4xy+8y.
Explicando cada termo: derivando x^{3} 3x^{2}; derivando -2x y^{2} em relação a x trata-se de -2y^{2} (pois y é tratado como constante); derivando -x^{2} -2x; derivando 4y^{2} em relação a x 0. Para \partial f/\partial y: derivada de -2x y^{2} em y é -4xy e de 4y^{2} é 8y.
Ponto crítico acontece quando ambas as derivadas parciais são zero:
3x^{2}-2y^{2}-2x=0, \qquad -4xy+8y=0.

Passo 3

Resolver o sistema \nabla f=0. Da segunda equação fatoramos:
-4xy+8y=4y(-x+2)=0.
Então ou y=0 ou x=2.
Caso A: y=0. Substituindo na primeira equação:
3x^{2}-2\cdot 0 -2x = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-2x = x(3x-2)=0.
Logo x=0 ou 3x-2=0\Rightarrow x=\tfrac{2}{3}. Assim obtemos dois pontos críticos deste caso:
(0,0)\quad\text{e}\quad\Big(\tfrac{2}{3},0\Big).
Caso B: x=2. Substituindo na primeira equação:
3\cdot 2^{2}-2y^{2}-2\cdot 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 12-2y^{2}-4=0
\Rightarrow\quad 8-2y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y=\pm 2.
Isso dá mais dois pontos críticos:
(2,2)\quad\text{e}\quad(2,-2).
Assim, os pontos críticos são (0,0), \big(\tfrac{2}{3},0\big), (2,2) e (2,-2).

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto crítico. A ferramenta padrão é a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Breve explicação: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\; f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\; f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}. O teste em dois variáveis usa o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, é máximo local.
  • Se D<0, é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo (seria necessário um exame mais fino).
Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx}=6x-2,\qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-2y^{2}-2x)=-4y, \qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-4xy+8y)=-4x+8.
Portanto D(x,y)=(6x-2)(-4x+8)-(-4y)^{2}.]

Passo 5

Avaliar em (0,0).
f_{xx}(0,0)=6\cdot 0-2=-2,\qquad f_{yy}(0,0)=-4\cdot 0+8=8,\qquad f_{xy}(0,0)=0.
D(0,0)=(-2)\cdot 8 - 0 = -16 <0.
Como D<0, concluímos que (0,0) é um ponto de sela. Interpretação intuitiva: em direções diferentes a função aumenta e diminui; não é nem mínimo nem máximo.

Passo 6

Avaliar em \big(\tfrac{2}{3},0\big).
Calculemos as segundas derivadas nesse ponto:
f_{xx}\!\left(\tfrac{2}{3},0\right)=6\cdot \tfrac{2}{3}-2=4-2=2,
f_{yy}\!\left(\tfrac{2}{3},0\right)=-4\cdot \tfrac{2}{3}+8=-\tfrac{8}{3}+8=\tfrac{16}{3},
f_{xy}\!\left(\tfrac{2}{3},0\right)=-4\cdot 0=0.
D\!\left(\tfrac{2}{3},0\right)=2\cdot \tfrac{16}{3}-0=\tfrac{32}{3}>0.
Como D>0 e f_{xx}=2>0, é um mínimo local. Agora o valor de f nesse ponto:
f\!\left(\tfrac{2}{3},0\right)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}-\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{8}{27}-\tfrac{4}{9}.
Colocando sobre o mesmo denominador (27):
\tfrac{8}{27}-\tfrac{12}{27}=-\tfrac{4}{27}.
Portanto \big(\tfrac{2}{3},0\big) é um mínimo local com f=-\tfrac{4}{27}.

Passo 7

Avaliar em (2,2).
f_{xx}(2,2)=6\cdot 2-2=12-2=10,
f_{yy}(2,2)=-4\cdot 2+8=-8+8=0,
f_{xy}(2,2)=-4\cdot 2=-8.
D(2,2)=10\cdot 0 - (-8)^{2} = -64 <0.
Como D<0, (2,2) é ponto de sela.

Passo 8

Avaliar em (2,-2).
f_{xx}(2,-2)=10\\ \text{(mesmo que antes)},
f_{yy}(2,-2)=0,
f_{xy}(2,-2)=-4\cdot(-2)=8.
D(2,-2)=10\cdot 0 - 8^{2} = -64 <0.
Logo (2,-2) também é ponto de sela.

Passo 9

Verificação sobre extremos globais (máximo/minimo absoluto). Uma observação simples: considere a restrição y=0. Então
f(x,0)=x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).
Para x\to +\infty, f(x,0)\to +\infty. Para x\to -\infty, f(x,0)\to -\infty. Assim a função não é limitada acima nem abaixo; portanto não existem máximo absoluto nem mínimo absoluto sobre \mathbb{R}^{2}. O mínimo que encontramos em \big(\tfrac{2}{3},0\big) é apenas local.

Resposta

(0,0): ponto de sela
\big(\tfrac{2}{3},0\big): mínimo local com f\big(\tfrac{2}{3},0\big)=-\tfrac{4}{27}
(2,2): ponto de sela
(2,-2): ponto de sela
Não há extremos globais (a função é não limitada).

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