Achar estudar os extremos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para “achar e estudar os extremos” — isto é, encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada um como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Vou listar as informações que temos:
- A função
é definida para todos os pares . - Precisamos:
- achar todos os pontos
tais que ; - classificar cada ponto crítico (usar o teste das segundas derivadas / Hessiana);
- verificar se há extremos globais (máximo ou mínimo absoluto).
- achar todos os pontos
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais (isto é, o gradiente). Uma breve aulinha: a derivada parcial
mede como
varia quando só
muda e
fica fixo; similar para
. Vamos calcular:
Explicando cada termo: derivando
dá
; derivando
em relação a
trata-se de
(pois
é tratado como constante); derivando
dá
; derivando
em relação a
dá
. Para
: derivada de
em
é
e de
é
.
Ponto crítico acontece quando ambas as derivadas parciais são zero:
Passo 3
Resolver o sistema
. Da segunda equação fatoramos:
Então ou
ou
.
Caso A:
. Substituindo na primeira equação:
Logo
ou
. Assim obtemos dois pontos críticos deste caso:
Caso B:
. Substituindo na primeira equação:
Isso dá mais dois pontos críticos:
Assim, os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 4
Agora vamos classificar cada ponto crítico. A ferramenta padrão é a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Breve explicação: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas
onde
. O teste em dois variáveis usa o determinante
:
- Se
e , é mínimo local. - Se
e , é máximo local. - Se
, é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo (seria necessário um exame mais fino).
Calculemos as segundas derivadas:
Portanto
.]
Passo 5
Avaliar em
.
Como
, concluímos que
é um ponto de sela. Interpretação intuitiva: em direções diferentes a função aumenta e diminui; não é nem mínimo nem máximo.
Passo 6
Avaliar em
.
Calculemos as segundas derivadas nesse ponto:
Calculemos as segundas derivadas nesse ponto:
Como
e
, é um mínimo local. Agora o valor de
nesse ponto:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Portanto
é um mínimo local com
.
Passo 7
Avaliar em
.
Como
,
é ponto de sela.
Passo 8
Avaliar em
.
Logo
também é ponto de sela.
Passo 9
Verificação sobre extremos globais (máximo/minimo absoluto). Uma observação simples: considere a restrição
. Então
Para
,
. Para
,
. Assim a função não é limitada acima nem abaixo; portanto não existem máximo absoluto nem mínimo absoluto sobre
. O mínimo que encontramos em
é apenas local.
Resposta
Não há extremos globais (a função é não limitada).