Achar estudar os extremos das seguintes funções:
f(x, y)=2+\frac{1}{3} y^{3}+x^{2} y-4 x-5 y

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=2+\frac{1}{3}y^{3}+x^{2}y-4x-5y
As perguntas que devemos responder são:
  • Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, todos os pontos onde podem ocorrer extremos).
  • Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
  • Quando pertinente, fornecer o valor de f nesses pontos.
Informações relevantes dadas:
  • A função está definida para todos os x,y\in\mathbb{R} (não há restrição de domínio explícita).
  • Precisaremos calcular derivadas parciais, resolver um sistema para pontos críticos e usar derivadas segundas (Hessiana) para classificar os pontos.

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema formado pelas derivadas parciais sendo zero.
Primeiro, lembrar rapidamente o que é derivada parcial: a derivada parcial de [f) em relação a x é a derivada considerando y fixa; análoga para a derivada parcial em relação a y.
Calculemos as derivadas parciais:
Derivando f em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2+\frac{1}{3}y^{3}+x^{2}y-4x-5y\right)
Termo a termo: 2 e \tfrac{1}{3}y^{3} não dependem de x (derivada zero), x^{2}y visto como y constante tem derivada 2xy, -4x -4, e -5y 0. Logo
f_x(x,y)=2xy-4.
Derivando f em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(2+\frac{1}{3}y^{3}+x^{2}y-4x-5y\right)
Termo a termo: 2 e -4x não dependem de y, \tfrac{1}{3}y^{3} y^{2}, x^{2}y x^{2}, e -5y -5. Logo
f_y(x,y)=y^{2}+x^{2}-5.
Pontos críticos satisfazem
\begin{cases} f_x(x,y)=0\\[4pt] f_y(x,y)=0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2xy-4=0\\[4pt] y^{2}+x^{2}-5=0 \end{cases}
Da primeira equação obtemos
2xy-4=0\quad\Rightarrow\quad xy=2.
Observação: y=0\] não é possível porque implicaria \(0=2, logo y\neq 0 nos pontos críticos.
Substituímos x=\dfrac{2}{y} na segunda equação:
y^{2}+\left(\frac{2}{y}\right)^{2}-5=0
y^{2}+\frac{4}{y^{2}}-5=0.
Multiplicando por y^{2} (válido pois y\neq 0):
y^{4}-5y^{2}+4=0.
Faça a substituição t=y^{2}. Então
t^{2}-5t+4=0.
Resolvendo a quadrática:
t=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}.
Assim t=1 ou t=4, ou seja y^{2}=1 ou y^{2}=4. Portanto:
y=\pm 1\quad\text{ou}\quad y=\pm 2.
Para cada y encontramos x=\dfrac{2}{y}:
  • Se y=1 então x=2.
  • Se y=-1 então x=-2.
  • Se y=2 então x=1.
  • Se y=-2 então x=-1.
Logo os pontos críticos são
(2,1),\quad (-2,-1),\quad (1,2),\quad (-1,-2).]

Passo 3

Agora vamos classificar esses pontos usando as derivadas segundas (teste da Hessiana).
Definição rápida (intuição): a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais. Para duas variáveis,
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
O teste padrão: calcule D(x,y)=\det H(x,y).
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
A partir de f_x=2xy-4:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy-4)=2y, \qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy-4)=2x.
A partir de f_y=y^{2}+x^{2}-5:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}+x^{2}-5)=2y, \qquad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}+x^{2}-5)=2x.
Note que f_{xy}=f_{yx}=2x, como esperado pela igualdade das derivadas mistas (função suficientemente suave).
A Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}2y & 2x\\[4pt]2x & 2y\end{pmatrix}.
O determinante é
D(x,y)=\det H(x,y)=(2y)(2y)-(2x)^{2}=4y^{2}-4x^{2}=4(y^{2}-x^{2}).
Agora avaliamos D e f_{xx}=2y em cada ponto crítico.
  1. Em (2,1):
y^{2}-x^{2}=1-4=-3\quad\Rightarrow\quad D=4(-3)=-12<0.
Como D<0, (2,1) é ponto de sela.
  1. Em (-2,-1):
y^{2}-x^{2}=1-4=-3\quad\Rightarrow\quad D=-12<0.
Logo (-2,-1) é ponto de sela.
  1. Em (1,2):
y^{2}-x^{2}=4-1=3\quad\Rightarrow\quad D=12>0.
Aqui f_{xx}=2y=4>0, então (1,2) é um mínimo local.
  1. Em (-1,-2):
y^{2}-x^{2}=4-1=3\quad\Rightarrow\quad D=12>0.
Aqui f_{xx}=2y=2(-2)=-4<0, então (-1,-2) é um máximo local.]

Passo 4

Calculemos os valores de f nesses pontos (é útil para saber o valor do mínimo/máximo local):
  1. Em (2,1):
f(2,1)=2+\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+2^{2}\cdot 1-4\cdot 2-5\cdot 1 =2+\frac{1}{3}+4-8-5.
Agrupando: 2+4-8-5=-7. Então
f(2,1)=-7+\frac{1}{3}=-\frac{20}{3}.
  1. Em (-2,-1):
f(-2,-1)=2+\frac{1}{3}(-1)^{3}+(-2)^{2}(-1)-4(-2)-5(-1) =2-\frac{1}{3}-4+8+5.
Agrupando: 2-4+8+5=11. Então
f(-2,-1)=11-\frac{1}{3}=\frac{32}{3}.
  1. Em (1,2):
f(1,2)=2+\frac{1}{3}\cdot 2^{3}+1^{2}\cdot 2-4\cdot 1-5\cdot 2 =2+\frac{8}{3}+2-4-10.
Agrupando: 2+2-4-10=-10. Então
f(1,2)=-10+\frac{8}{3}=-\frac{22}{3}.
  1. Em (-1,-2):
f(-1,-2)=2+\frac{1}{3}(-2)^{3}+(-1)^{2}(-2)-4(-1)-5(-2) =2-\frac{8}{3}-2+4+10.
Agrupando: 2-2+4+10=14. Então
f(-1,-2)=14-\frac{8}{3}=\frac{34}{3}.

Resposta

(2,1): ponto de sela, f(2,1)=-\tfrac{20}{3}
(-2,-1): ponto de sela, f(-2,-1)=\tfrac{32}{3}
(1,2): mínimo local, f(1,2)=-\tfrac{22}{3}
(-1,-2): máximo local, f(-1,-2)=\tfrac{34}{3}

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