Achar estudar os extremos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função
As perguntas que devemos responder são:
- Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, todos os pontos onde podem ocorrer extremos).
- Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
- Quando pertinente, fornecer o valor de
nesses pontos.
Informações relevantes dadas:
- A função está definida para todos os
(não há restrição de domínio explícita). - Precisaremos calcular derivadas parciais, resolver um sistema para pontos críticos e usar derivadas segundas (Hessiana) para classificar os pontos.
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema formado pelas derivadas parciais sendo zero.
Primeiro, lembrar rapidamente o que é derivada parcial: a derivada parcial de [f) em relação a
é a derivada considerando
fixa; análoga para a derivada parcial em relação a
.
Calculemos as derivadas parciais:
Derivando
em relação a
:
Termo a termo:
e
não dependem de
(derivada zero),
visto como
constante tem derivada
,
dá
, e
dá
. Logo
Derivando
em relação a
:
Termo a termo:
e
não dependem de
,
dá
,
dá
, e
dá
. Logo
Pontos críticos satisfazem
Da primeira equação obtemos
Observação:
, logo
nos pontos críticos.
Substituímos
na segunda equação:
Multiplicando por
(válido pois
):
Faça a substituição
. Então
Resolvendo a quadrática:
Assim
ou
, ou seja
ou
. Portanto:
Para cada
encontramos
:
- Se
então . - Se
então . - Se
então . - Se
então .
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Agora vamos classificar esses pontos usando as derivadas segundas (teste da Hessiana).
Definição rápida (intuição): a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais. Para duas variáveis,
O teste padrão: calcule
.
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
A partir de
:
A partir de
:
Note que
, como esperado pela igualdade das derivadas mistas (função suficientemente suave).
A Hessiana é
O determinante é
Agora avaliamos
e
em cada ponto crítico.
- Em
:
Como
,
é ponto de sela.
- Em
:
Logo
é ponto de sela.
- Em
:
Aqui
, então
é um mínimo local.
- Em
:
Aqui
, então
é um máximo local.]
Passo 4
Calculemos os valores de
nesses pontos (é útil para saber o valor do mínimo/máximo local):
- Em
:
Agrupando:
. Então
- Em
:
Agrupando:
. Então
- Em
:
Agrupando:
. Então
- Em
:
Agrupando:
. Então