Exercício 12. Faça o esboço completo do gráfico da função f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede o esboço completo do gráfico da função f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}. Vou listar claramente o que precisamos obter para um esboço completo:
  • O domínio da função.
  • Interceptos com eixos (se houver).
  • Limites notáveis: em x\to0^{-}, x\to0^{+}, x\to-1^{+} (extremo esquerdo do domínio) e x\to+\infty.
  • Assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas).
  • Derivada primeira: expressão, sinais e monotonicidade (cresce/decresce), pontos críticos e extremos.
  • Derivada segunda: expressão, sinais, concavidade e pontos de inflexão.
  • Alguns pontos numéricos para orientar o esboço (valores fáceis de calcular).
    Não vou resolver nada ainda neste passo; só deixei claro o que o problema pede e quais informações vou buscar.

Passo 2

Domínio e interceptos.
  • A raiz quadrada exige x+1\ge 0, logo x\ge -1.
  • O denominador exige x\neq 0.
    Portanto o domínio é
D = [-1,0)\cup(0,\infty).
Interceptos:
  • Raiz f(x)=0 ocorre quando o numerador \sqrt{x+1}=0, isto é x=-1. Como x=-1 pertence ao domínio, f(-1)=0. Logo há intercepto em x=-1 no eixo x (também é o ponto sobre o eixo x).
  • Não há intercepto com o eixo y porque x=0 não está no domínio.
    Resumo deste passo: domínio [-1,0)\cup(0,\infty) e único zero em x=-1 com f(-1)=0.

Passo 3

Limites importantes e assíntotas verticais/horizontais.
  1. Limites em x\to0. Para x\to0 temos \sqrt{x+1}\to 1. Assim
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x+1}}{x}=\frac{1}{0^-}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=\frac{1}{0^+}=+\infty.
Portanto x=0 é uma assíntota vertical.
  1. Limite em x\to -1^{+}. Como \sqrt{x+1}\to 0 quando x\to -1^{+},
\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=\lim_{x\to -1^{+}} \frac{\sqrt{x+1}}{x}=\frac{0}{-1}=0.
E de fato f(-1)=0.
  1. Limite em x\to +\infty. Para x grande \sqrt{x+1}\sim\sqrt{x}, então
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}}=0.
Como f(x)>0 para x>0 e tende a 0, a reta y=0 é assíntota horizontal à direita.
Resumo: assíntota vertical x=0 e assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty. À esquerda, em x=-1 a função toma valor 0 (ponto no domínio).

Passo 4

Derivada primeira: cálculo e interpretação (monotonicidade).
Calculemos f'(x). Partimos de f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}. Usando a regra do quociente ou produto, faço passo a passo:
Derivada do numerador N(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2} é
N'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Usando regra do quociente f'=\dfrac{N' x - N\cdot 1}{x^2}, obtemos
f'(x)=\frac{\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}}{x^2}.
Colocando sobre um denominador comum 2\sqrt{x+1},
f'(x)=\frac{x-2(x+1)}{2x^2\sqrt{x+1}}=\frac{-x-2}{2x^2\sqrt{x+1}}.
Portanto
\boxed{\,f'(x)=-\dfrac{x+2}{2x^2\sqrt{x+1}}\,.}
Análise do sinal de f'(x):
  • Para x\in D temos x^2>0 e \sqrt{x+1}>0 (exceto \sqrt{x+1}=0 em x=-1, onde a derivada não é finita). Assim o sinal de f' é o sinal de -(x+2).
  • Como para todo x\ge -1 temos x+2>1 (ou seja x+2>0), segue -(x+2)<0.
    Conclusão: f'(x)<0 para todo x\in(-1,0)\cup(0,\infty). A função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio. Não há extremos locais internos (o único pontos especiais são o endpoint x=-1 e a descontinuidade em x=0).
Observações sobre comportamento da derivada nos extremos do domínio:
  • Em x\to -1^{+} o denominador tende a zero por \sqrt{x+1}\to 0, enquanto o numerador tende a -( -1+2 ) = -1, logo f'(x)\to -\infty. Isto mostra que a curva é muito inclinada (declive muito negativo) logo à direita de x=-1.
  • Em x\to 0^\pm a derivada não é definida por causa do x^2 no denominador (além de x=0 ser assíntota vertical).

Passo 5

Derivada segunda: cálculo, concavidade e ponto de inflexão.
Partindo de f'(x)=-\dfrac{x+2}{2x^2\sqrt{x+1}}, é prático reescrever e derivar cuidadosamente. Ao derivar (passos algébricos mostrados abaixo), obtém-se
\boxed{\,f''(x)=\frac{3x^2+12x+8}{4x^3(x+1)^{3/2}}\,.}
(Se quiser, pode verificar diferenciando f' por partes: escrevendo f'=-\tfrac{1}{2}(x+2)x^{-2}(x+1)^{-1/2} e aplicando a regra do produto três vezes.)
Agora o sinal de f'':
  • O denominador 4x^3(x+1)^{3/2} tem sinal dado por x^3 porque (x+1)^{3/2}\ge 0. Assim o denominador é negativo para x\in(-1,0) e positivo para x\in(0,\infty).
  • O numerador é um polinômio quadrático 3x^2+12x+8. As raízes deste polinômio são
x=\frac{-12\pm\sqrt{144-96}}{6}=\frac{-12\pm 4\sqrt{3}}{6}=-2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.
A raiz que pertence ao domínio (a outra é menor que -1) é
x_{\text{infl}}=-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx -0,8453.
Testando sinais, o numerador é negativo para x\in(-1,x_{\text{infl}}) e positivo para x\in(x_{\text{infl}},\infty).
Combinação dos sinais:
  • Para x\in(-1,x_{\text{infl}}): numerador <0 e denominador <0 \Rightarrow f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para x\in(x_{\text{infl}},0): numerador >0 e denominador <0 \Rightarrow f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Para x\in(0,\infty): numerador >0 e denominador >0 \Rightarrow f''(x)>0 (concavidade para cima).
Conclusão: há um ponto de inflexão em
\boxed{\,x=-2+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx -0{,}8453\,}
(pertence ao intervalo (-1,0)). A função muda de concavidade up → down → up conforme descrito.

Passo 6

Pontos numéricos úteis para o esboço e resumo do comportamento em cada ramo.
Calculemos alguns valores simples:
  • f(-1)=0 (já visto).
  • f(-0{,}9)=\dfrac{\sqrt{0{,}1}}{-0{,}9}\approx\dfrac{0{,}31623}{-0{,}9}\approx -0{,}3514.
  • f(-0{,}5)=\dfrac{\sqrt{0{,}5}}{-0{,}5}\approx\dfrac{0{,}7071}{-0{,}5}\approx -1{,}4142.
  • f(-0{,}2)=\dfrac{\sqrt{0{,}8}}{-0{,}2}\approx\dfrac{0{,}8944}{-0{,}2}\approx -4{,}472 (mostra aproximação para -\infty ao se aproximar de 0^-).
  • f(1)=\dfrac{\sqrt{2}}{1}\approx 1{,}4142.
  • f(4)=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\approx \dfrac{2{,}2361}{4}\approx 0{,}5590.
  • f(0{,}25)=\dfrac{\sqrt{1{,}25}}{0{,}25}\approx\dfrac{1{,}1180}{0{,}25}\approx 4{,}472 (mostra grande crescimento quando x pequeno e positivo).
    Esses pontos ajudam a esboçar a curva em cada ramo.
Resumo do comportamento por intervalos:
  • Em (-1,0): f é negativa, estritamente decrescente, tende a 0 em x\to-1^{+} e a -\infty em x\to0^{-}. Concavidade: côncava para cima em (-1,x_{\text{infl}}), muda para côncava para baixo em (x_{\text{infl}},0).
  • Em (0,\infty): f é positiva, estritamente decrescente, tende a +\infty em x\to0^{+} e a 0^{+} em x\to+\infty. Concavidade: côncava para cima em todo (0,\infty).

Passo 7

Instruções práticas para desenhar o esboço (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque e trace a assíntota vertical x=0 (linha pontilhada) e a assíntota horizontal y=0 à direita.
  2. Em -1 coloque o ponto (-1,0) (a função toca o eixo x aí).
  3. No intervalo (-1,0):
    • Comece em (-1,0). Imediatamente à direita de -1 a tangente é muito inclinada negativa (declive muito grande negativo).
    • A curva desce (valores negativos) passando por, por exemplo, (-0{,}9,-0{,}35), (-0{,}5,-1{,}414) e diverge para -\infty ao aproximar x=0.
    • Marque o ponto de inflexão aproximado em x\approx -0{,}8453 onde a concavidade muda.
  4. No intervalo (0,\infty):
    • A curva vem de +\infty próximo a x=0^{+}, decresce passando por pontos como (0{,}25,4{,}472), (1,1{,}414), (4,0{,}559) e se aproxima de y=0 por cima conforme x\to\infty.
    • A curva é sempre côncava para cima nesse ramo.
  5. Não existe cruzamento com o eixo y e não há máximos ou mínimos internos nos ramos (apenas decrescimento contínuo em cada ramo).
    O esboço final terá um ramo à esquerda de x=0 negativo indo de 0 em x=-1 para -\infty em 0^{-}, e um ramo à direita de x=0 positivo vindo de +\infty em 0^{+} e decrescendo para 0^{+} quando x\to\infty.

Resposta

Domínio: [-1,0)\cup(0,\infty)
Intercepto: f(-1)=0 (único zero)
Assíntotas: vertical x=0; horizontal y=0 para x\to+\infty
Limites: \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty, \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, \lim_{x\to+\infty}f(x)=0, \lim_{x\to-1^+}f(x)=0
Derivada: f'(x)=-\dfrac{x+2}{2x^2\sqrt{x+1}}; f'(x)<0 em todo o domínio → função estritamente decrescente em (-1,0) e (0,\infty)
Concavidade e inflexão: f''(x)=\dfrac{3x^2+12x+8}{4x^3(x+1)^{3/2}}. Há ponto de inflexão em x=-2+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}8453. Concavidade: côncava para cima em (-1,-2+\tfrac{2\sqrt{3}}{3}), côncava para baixo em (-2+\tfrac{2\sqrt{3}}{3},0), e côncava para cima em (0,\infty).
Pontos úteis para esboço: (-1,0), (-0{,}5,-1{,}414), (-0{,}9,-0{,}351), (0{,}25,4{,}472), (1,\sqrt{2}\approx1{,}414), (4,\sqrt{5}/4\approx0{,}559).

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