Exercício 12. Faça o esboço completo do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço completo do gráfico da função
. Vou listar claramente o que precisamos obter para um esboço completo:
- O domínio da função.
- Interceptos com eixos (se houver).
- Limites notáveis: em
, , (extremo esquerdo do domínio) e . - Assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas).
- Derivada primeira: expressão, sinais e monotonicidade (cresce/decresce), pontos críticos e extremos.
- Derivada segunda: expressão, sinais, concavidade e pontos de inflexão.
- Alguns pontos numéricos para orientar o esboço (valores fáceis de calcular).
Não vou resolver nada ainda neste passo; só deixei claro o que o problema pede e quais informações vou buscar.
Passo 2
Domínio e interceptos.
- A raiz quadrada exige
, logo . - O denominador exige
.
Portanto o domínio é
Interceptos:
- Raiz
ocorre quando o numerador , isto é . Como pertence ao domínio, . Logo há intercepto em no eixo (também é o ponto sobre o eixo ). - Não há intercepto com o eixo
porque não está no domínio.
Resumo deste passo: domínioe único zero em com .
Passo 3
Limites importantes e assíntotas verticais/horizontais.
- Limites em
. Para temos . Assim
Portanto
é uma assíntota vertical.
- Limite em
. Como quando ,
E de fato
.
- Limite em
. Para grande , então
Como
para
e tende a
, a reta
é assíntota horizontal à direita.
Resumo: assíntota vertical
e assíntota horizontal
quando
. À esquerda, em
a função toma valor
(ponto no domínio).
Passo 4
Derivada primeira: cálculo e interpretação (monotonicidade).
Calculemos . Partimos de
. Usando a regra do quociente ou produto, faço passo a passo:
Calculemos
Derivada do numerador
é
Usando regra do quociente
, obtemos
Colocando sobre um denominador comum
,
Portanto
Análise do sinal de
:
- Para
temos e (exceto em , onde a derivada não é finita). Assim o sinal de é o sinal de . - Como para todo
temos (ou seja ), segue .
Conclusão:para todo . A função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio. Não há extremos locais internos (o único pontos especiais são o endpoint e a descontinuidade em ).
Observações sobre comportamento da derivada nos extremos do domínio:
- Em
o denominador tende a zero por , enquanto o numerador tende a , logo . Isto mostra que a curva é muito inclinada (declive muito negativo) logo à direita de . - Em
a derivada não é definida por causa do no denominador (além de ser assíntota vertical).
Passo 5
Derivada segunda: cálculo, concavidade e ponto de inflexão.
Partindo de , é prático reescrever e derivar cuidadosamente. Ao derivar (passos algébricos mostrados abaixo), obtém-se
Partindo de
(Se quiser, pode verificar diferenciando
por partes: escrevendo
e aplicando a regra do produto três vezes.)
Agora o sinal de
:
- O denominador
tem sinal dado por porque . Assim o denominador é negativo para e positivo para . - O numerador é um polinômio quadrático
. As raízes deste polinômio são
A raiz que pertence ao domínio (a outra é menor que
) é
Testando sinais, o numerador é negativo para
e positivo para
.
Combinação dos sinais:
- Para
: numerador e denominador (concavidade para cima). - Para
: numerador e denominador (concavidade para baixo). - Para
: numerador e denominador (concavidade para cima).
Conclusão: há um ponto de inflexão em
(pertence ao intervalo
). A função muda de concavidade up → down → up conforme descrito.
Passo 6
Pontos numéricos úteis para o esboço e resumo do comportamento em cada ramo.
Calculemos alguns valores simples:
Calculemos alguns valores simples:
-
(já visto). -
. -
. -
(mostra aproximação para ao se aproximar de ). -
. -
. -
(mostra grande crescimento quando pequeno e positivo).
Esses pontos ajudam a esboçar a curva em cada ramo.
Resumo do comportamento por intervalos:
- Em
: é negativa, estritamente decrescente, tende a em e a em . Concavidade: côncava para cima em , muda para côncava para baixo em . - Em
: é positiva, estritamente decrescente, tende a em e a em . Concavidade: côncava para cima em todo .
Passo 7
Instruções práticas para desenhar o esboço (passo a passo):
- Desenhe os eixos
e . Marque e trace a assíntota vertical (linha pontilhada) e a assíntota horizontal à direita. - Em
coloque o ponto (a função toca o eixo aí). - No intervalo
: - Comece em
. Imediatamente à direita de a tangente é muito inclinada negativa (declive muito grande negativo). - A curva desce (valores negativos) passando por, por exemplo,
, e diverge para ao aproximar . - Marque o ponto de inflexão aproximado em
onde a concavidade muda.
- Comece em
- No intervalo
: - A curva vem de
próximo a , decresce passando por pontos como , , e se aproxima de por cima conforme . - A curva é sempre côncava para cima nesse ramo.
- A curva vem de
- Não existe cruzamento com o eixo
e não há máximos ou mínimos internos nos ramos (apenas decrescimento contínuo em cada ramo).
O esboço final terá um ramo à esquerda denegativo indo de em para em , e um ramo à direita de positivo vindo de em e decrescendo para quando .
Resposta
Domínio:
Intercepto: (único zero)
Assíntotas: vertical ; horizontal
para
Limites: ,
,
,
Derivada: ;
em todo o domínio → função estritamente decrescente em
e
Concavidade e inflexão: . Há ponto de inflexão em
. Concavidade: côncava para cima em
, côncava para baixo em
, e côncava para cima em
.
Pontos úteis para esboço: ,
,
,
,
,
.
Intercepto:
Assíntotas: vertical
Limites:
Derivada:
Concavidade e inflexão:
Pontos úteis para esboço: