Achar, se existir, o limite
Exercicio 4.5
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} y+4 x^{2} y^{3}-y^{5}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}y + 4x^{2}y^{3} - y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
O conteúdo é cálculo de limite em duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para investigar a dependência em r e em \theta.

Passo 2

Fazendo a substituição para coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
temos
x^{4}y = r^{5}\cos^{4}\theta\,\sin\theta,\quad 4x^{2}y^{3} = 4r^{5}\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta,\quad -y^{5} = -r^{5}\sin^{5}\theta.
Logo o numerador vira
r^{5}\bigl(\cos^{4}\theta\,\sin\theta + 4\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta - \sin^{5}\theta\bigr).

Passo 3

O denominador em polares é
(x^{2}+y^{2})^{2} = (r^{2})^{2} = r^{4}.
Portanto a expressão original fica
\frac{r^{5}\bigl(\cos^{4}\theta\,\sin\theta + 4\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta - \sin^{5}\theta\bigr)}{r^{4}} = r\;\bigl(\cos^{4}\theta\,\sin\theta + 4\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta - \sin^{5}\theta\bigr).

Passo 4

Como o fator
\cos^{4}\theta\,\sin\theta + 4\cos^{2}\theta\,\sin^{3}\theta - \sin^{5}\theta
é uma função limitada de \theta, ao fazermos r\to0 a expressão inteira tende a
0\cdot(\text{função limitada}) = 0.çã

Resposta

O limite existe e vale 0.

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