Achar, se existir, o limite
Exercicio 4.9
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede avaliar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Esse é um limite de função de duas variáveis. Para verificar se ele existe, vamos usar a ideia de dependência de trajetória, examinando diferentes caminhos de aproximação a (0,0).

Passo 2

Considere o caminho dado pela reta y = m\,x, com m constante. Substituindo na função:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x^{2} - (m\,x)^{2}}{x^{2} + (m\,x)^{2}} = \frac{x^{2}(1 - m^{2})}{x^{2}(1 + m^{2})} = \frac{1 - m^{2}}{1 + m^{2}}.

Passo 3

Para diferentes valores de m obtemos limites distintos. Por exemplo:
quando m=0 (reta y=0),
\frac{1 - 0^{2}}{1 + 0^{2}} = 1,
e quando m=1 (reta y=x),
\frac{1 - 1^{2}}{1 + 1^{2}} = 0.

Passo 4

Como o valor do limite depende de m, não existe um único valor universal ao aproximar-se de (0,0). Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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