Exercicio 4.12 Achar, se existir, o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} Passo 1O enunciado pede o limite da função f(x,y)=\frac{x\,y\,(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}} quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que costumam facilitar a identificação de dependência em r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Passo 2Em coordenadas polares, fazemos x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta, logo x^{2}+y^{2}=r^{2}, x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos2\theta. Substituindo em f, obtemos f(r,\theta) =\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)\bigl(r^{2}\cos2\theta\bigr)}{r^{2}} =r^{2}\,\cos\theta\,\sin\theta\,\cos2\theta. Passo 3Note que \cos\theta\,\sin\theta\,\cos2\theta é sempre limitado em módulo por 1, isto é, \bigl|\cos\theta\,\sin\theta\,\cos2\theta\bigr|\le1, então \bigl|f(r,\theta)\bigr|\le r^{2}. Como r\to0 implica r^{2}\to0, temos \bigl|f(r,\theta)\bigr|\to0, independentemente de \theta. Portanto o limite existe e é zero. RespostaO valor do limite é 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEscolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra 1/3 de simpson repetida de modo a obter uma aproximação de I=\int_{0,39}^{0,39+1} e^{x^{2}} d x com um erro inferior a 0,01 Discordância é um tipo de defeito na estrutura cristalina do material que ocorre quando há um desalinhamento decorrente de dobras ou distorções da própria rede. É correto o que se afirma que: Escolha uma opção: a. Discordância em aresta é o defeito da rede cristalina que ocorre quando a rede é cortada e deslocada por um espaçamento atômico. b. A quantidade e o movimento das discordâncias podem ser controlados pelo grau de deformação (conformação mecânica) e/ou por tratamentos térmicos. c. Discordância em hélice é causada pela adição de um plano de átomos parcial na estrutura de uma rede. d. É o tipo de defeito ocasionado principalmente devido a deformaçōes mecânicas e é responsável pela boa trabalhabilidade do material, pois não ocorre ruptura facilmente. e. O processo de difusão ocorre pelas discordâncias. Achar, se existir, o limite Exercicio 4.2 \lim _{(x, y) \rightarrow(3,-1)} x^{2}+y^{2}-4 x+2 y Achar, se existir, o limite Exercicio 4.5 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} y+4 x^{2} y^{3}-y^{5}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}