Exercicio 4.12
Achar, se existir, o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=\frac{x\,y\,(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que costumam facilitar a identificação de dependência em r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
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x^{2}+y^{2}=r^{2},
x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos2\theta.
Substituindo em f, obtemos
f(r,\theta) =\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)\bigl(r^{2}\cos2\theta\bigr)}{r^{2}} =r^{2}\,\cos\theta\,\sin\theta\,\cos2\theta.

Passo 3

Note que \cos\theta\,\sin\theta\,\cos2\theta é sempre limitado em módulo por 1, isto é,
\bigl|\cos\theta\,\sin\theta\,\cos2\theta\bigr|\le1,
então
\bigl|f(r,\theta)\bigr|\le r^{2}.
Como r\to0 implica r^{2}\to0, temos \bigl|f(r,\theta)\bigr|\to0, independentemente de \theta. Portanto o limite existe e é zero.

Resposta

O valor do limite é 0.

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