Achar f_{x} e f_{y}. Qué equações relacionam eles?
f(x, y)=\sin (x+c y)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sin(x+cy) e pede duas coisas: encontrar \,f_{x}\, e \,f_{y}\, (as derivadas parciais de f em relação a x e a y) e determinar que equações relacionam essas derivadas. Também tomo como dado que c é uma constante (o enunciado não diz que depende de x ou y, então tratamos c como constante).

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo, sem pressa): quando temos uma função de duas variáveis que é composta, como f(x,y)=g(u(x,y)), usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia diz que
f_{x}(x,y)=g'(u(x,y))\cdot u_{x}(x,y)
e
f_{y}(x,y)=g'(u(x,y))\cdot u_{y}(x,y).
Aqui eu vou identificar a parte externa g e a parte interna u para aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Identificação da parte interna e cálculo das derivadas parciais dessa parte interna. Defino
u(x,y)=x+cy.
Agora calculo \,u_{x}\, e \,u_{y}\, lembrando que c é constante:
u_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x+cy)=1,
u_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x+cy)=c.
Explicando: ao derivar em relação a x tratamos y (e c) como constantes, então a derivada de x é 1; ao derivar em relação a y a derivada de cy é c.

Passo 4

Identificação da parte externa e sua derivada. A parte externa é g(u)=\sin u. A derivada de g em relação a u é
g'(u)=\cos u.
Isso é a regra básica de derivação: a derivada de \sin é \cos.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia completa. Usando g'(u)=\cos u e os valores de u_{x} e u_{y} do Passo 3, temos:
f_{x}(x,y)=g'(u(x,y))\cdot u_{x}(x,y)=\cos(u(x,y))\cdot 1=\cos(x+cy),
f_{y}(x,y)=g'(u(x,y))\cdot u_{y}(x,y)=\cos(u(x,y))\cdot c=c\cos(x+cy).
Cada passo aqui seguiu a ideia: derivada da função externa avaliada na parte interna, multiplicada pela derivada da parte interna em relação à variável escolhida.

Passo 6

Relação entre \,f_{x}\, e \,f_{y}\,. Da expressão do Passo 5 vemos imediatamente que
f_{y}(x,y)=c\cos(x+cy)=c\,f_{x}(x,y).
Assim a relação entre elas é linear simples: \,f_{y}=c\,f_{x}\,. Como verificação numérica rápida, se c=2 e (x,y)=(0,0), então \,f_{x}(0,0)=\cos 0=1 e \,f_{y}(0,0)=2\cos 0=2, que satisfaz f_{y}=2f_{x}.

Passo 7

Dica para a prova (curta e prática): ao calcular derivada parcial em relação a x sempre trate y (e constantes como c) como fixos; ao calcular em relação a y trate x como fixo. Se a função for uma composição, identifique a parte interna u(x,y) e aplique a regra da cadeia como fizemos.

Resposta

f_{x}(x,y)=\cos(x+cy)
f_{y}(x,y)=c\cos(x+cy)
f_{y}(x,y)=c\,f_{x}(x,y)

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