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e
. Qué equações relacionam eles?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: encontrar
e
(as derivadas parciais de
em relação a
e a
) e determinar que equações relacionam essas derivadas. Também tomo como dado que
é uma constante (o enunciado não diz que depende de
ou
, então tratamos
como constante).
Passo 2
Conceito e estratégia (passo-a-passo, sem pressa): quando temos uma função de duas variáveis que é composta, como
, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia diz que
e
Aqui eu vou identificar a parte externa
e a parte interna
para aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Identificação da parte interna e cálculo das derivadas parciais dessa parte interna. Defino
Agora calculo
e
lembrando que
é constante:
Explicando: ao derivar em relação a
tratamos
(e
) como constantes, então a derivada de
é
; ao derivar em relação a
a derivada de
é
.
Passo 4
Identificação da parte externa e sua derivada. A parte externa é
. A derivada de
em relação a
é
Isso é a regra básica de derivação: a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia completa. Usando
e os valores de
e
do Passo 3, temos:
Cada passo aqui seguiu a ideia: derivada da função externa avaliada na parte interna, multiplicada pela derivada da parte interna em relação à variável escolhida.
Passo 6
Relação entre
e
. Da expressão do Passo 5 vemos imediatamente que
Assim a relação entre elas é linear simples:
. Como verificação numérica rápida, se
e
, então
e
, que satisfaz
.
Passo 7
Dica para a prova (curta e prática): ao calcular derivada parcial em relação a
sempre trate
(e constantes como
) como fixos; ao calcular em relação a
trate
como fixo. Se a função for uma composição, identifique a parte interna
e aplique a regra da cadeia como fizemos.