Achar f_{x} e f_{y}. Qué equações relacionam eles?
f(x, y)=e^{x+7 y}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as derivadas parciais f_{x} e f_{y} da função dada e que escreva as equações que as relacionam. A função fornecida é
f(x,y)=e^{x+7y}.
Informações relevantes: a função é a exponencial de x+7y. Não há mais restrições ou dados adicionais.

Passo 2

O que significa derivada parcial? Vou explicar bem devagar: a derivada parcial de f em relação a x, que escrevemos f_{x}, é a taxa de variação de f quando a gente muda só x e mantém y fixo. Analogamente, f_{y} é a taxa de variação quando a gente muda só y e mantém x fixo. Na prática, para calcular:
  • Para f_{x}: trate y como constante e derive em relação a x.
  • Para f_{y}: trate x como constante e derive em relação a y.

Passo 3

Qual regra de derivação usamos aqui? A função é uma exponencial composta: f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=x+7y. A derivada de e^{u} em relação à variável (quando usamos a regra da cadeia) é e^{u} vezes a derivada de u em relação àquela variável. Ou seja, para uma variável qualquer t,
\frac{d}{dt} e^{u(t)} = e^{u(t)}\cdot u'(t).
Aqui vamos aplicar isso separadamente para x e para y.

Passo 4

Calcular f_{x} passo a passo:
  • Identificamos u(x,y)=x+7y.
  • Tratando y como constante, a derivada de u em relação a x é
\frac{\partial u}{\partial x}=1,
pois x deriva para 1 e 7y é constante em relação a x.
  • Pela regra da cadeia para exponencial,
f_{x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo u e \partial u/\partial x,
f_{x} = e^{x+7y}\cdot 1 = e^{x+7y}.

Passo 5

Calcular f_{y} passo a passo:
  • Novamente u(x,y)=x+7y.
  • Agora tratamos x como constante; a derivada de u em relação a y é
\frac{\partial u}{\partial y}=7,
porque a derivada de 7y em relação a y é 7 e x é constante.
  • Aplicando a regra da cadeia,
f_{y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo,
f_{y} = e^{x+7y}\cdot 7 = 7e^{x+7y}.

Passo 6

Agora as equações que relacionam f_{x} e f_{y}. Já temos
f_{x}=e^{x+7y},\qquad f_{y}=7e^{x+7y}.
Dessas expressões seguem relações simples:
  • Escrevendo f_{y} em função de f_{x},
f_{y}=7f_{x}.
  • Ou, colocada em forma de equação diferencial/algebraica,
f_{y}-7f_{x}=0.
Também é útil lembrar a forma do gradiente:
\nabla f = (f_{x},\,f_{y}) = e^{x+7y}(1,\,7).

Resposta

f_{x}=e^{x+7y}
f_{y}=7e^{x+7y}
f_{y}=7f_{x}

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