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e
. Qué equações relacionam eles?
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre as derivadas parciais
e
da função dada e que escreva as equações que as relacionam. A função fornecida é
Informações relevantes: a função é a exponencial de
. Não há mais restrições ou dados adicionais.
Passo 2
O que significa derivada parcial? Vou explicar bem devagar: a derivada parcial de
em relação a
, que escrevemos
, é a taxa de variação de
quando a gente muda só
e mantém
fixo. Analogamente,
é a taxa de variação quando a gente muda só
e mantém
fixo. Na prática, para calcular:
- Para
: trate como constante e derive em relação a . - Para
: trate como constante e derive em relação a .
Passo 3
Qual regra de derivação usamos aqui? A função é uma exponencial composta:
com
. A derivada de
em relação à variável (quando usamos a regra da cadeia) é
vezes a derivada de
em relação àquela variável. Ou seja, para uma variável qualquer
,
Aqui vamos aplicar isso separadamente para
e para
.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Identificamos
. - Tratando
como constante, a derivada de em relação a é
pois
deriva para
e
é constante em relação a
.
- Pela regra da cadeia para exponencial,
Substituindo
e
,
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Novamente
. - Agora tratamos
como constante; a derivada de em relação a é
porque a derivada de
em relação a
é
e
é constante.
- Aplicando a regra da cadeia,
Substituindo,
Passo 6
Agora as equações que relacionam
e
. Já temos
Dessas expressões seguem relações simples:
- Escrevendo
em função de ,
- Ou, colocada em forma de equação diferencial/algebraica,
Também é útil lembrar a forma do gradiente: