Achar
e
. Qué equações relacionam eles?
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache as derivadas parciais
e
da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
é uma função de duas variáveis
.
A expressão dentro do log é , logo a função só está definida quando
A expressão dentro do log é
As perguntas são: (1) calcular
; (2) calcular
; (3) que equações relacionam essas derivadas?
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial de
em relação a
em um ponto
mede a variação de
quando só a coordenada
varia (mantendo
fixo). Formalmente,
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Na prática, usamos regras de derivação (como a regra da cadeia) aplicadas segurando a outra variável constante.
Passo 3
Regra da cadeia (versão usada aqui): se
e
é diferenciável e
, então
No caso de funções de duas variáveis, para achar
tratamos
como constante e aplicamos a regra da cadeia com
; para
tratamos
como constante.
Passo 4
Aplicando a ideia anterior: defina
então
. Primeiro calcule a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo):
porque derivada de
em relação a
é
e
é constante quando
está fixo. Pela regra da cadeia,
válido quando
.
Passo 5
Agora para
: calcule a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo):
pois
é constante e a derivada de
em relação a
é
. Pela regra da cadeia,
também válido quando
.
Passo 6
Equações que relacionam
e
:
- Dividindo as duas expressões obtemos uma relação direta:
- A partir de
e podemos escrever o gradiente:
- E a diferencial total (útil para aproximações lineares) é
Passo 7
Pequena checagem numérica para fixar (opcional): em
temos
. Então
e realmente
, como prometido.