Achar f_{x} e f_{y}. Qué equações relacionam eles?
f(x, y)=\ln (x+7 y).

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache as derivadas parciais \,f_x e \,f_y da função
f(x,y)=\ln(x+7y).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\;f é uma função de duas variáveis (x,y).
A expressão dentro do log é x+7y, logo a função só está definida quando
x+7y>0.
As perguntas são: (1) calcular \,f_x(x,y); (2) calcular \,f_y(x,y); (3) que equações relacionam essas derivadas?

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x,y) mede a variação de f quando só a coordenada x varia (mantendo y fixo). Formalmente,
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, usamos regras de derivação (como a regra da cadeia) aplicadas segurando a outra variável constante.

Passo 3

Regra da cadeia (versão usada aqui): se g(t)=\ln(u(t)) e u(t) é diferenciável e u(t)>0, então
\frac{d}{dt}\ln(u(t))=\frac{u'(t)}{u(t)}.
No caso de funções de duas variáveis, para achar \,f_x tratamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia com u(x,y)=x+7y; para \,f_y tratamos x como constante.

Passo 4

Aplicando a ideia anterior: defina
u(x,y)=x+7y,
então f(x,y)=\ln(u(x,y)). Primeiro calcule a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo):
\frac{\partial u}{\partial x}=1,
porque derivada de x em relação a x é 1 e 7y é constante quando y está fixo. Pela regra da cadeia,
f_x(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{x+7y}\cdot 1=\frac{1}{x+7y},
válido quando x+7y>0.

Passo 5

Agora para \,f_y: calcule a derivada parcial de u em relação a y (mantendo x fixo):
\frac{\partial u}{\partial y}=7,
pois x é constante e a derivada de 7y em relação a y é 7. Pela regra da cadeia,
f_y(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x+7y}\cdot 7=\frac{7}{x+7y},
também válido quando x+7y>0.

Passo 6

Equações que relacionam \,f_x e \,f_y:
  • Dividindo as duas expressões obtemos uma relação direta:
f_y(x,y)=7\,f_x(x,y).
  • A partir de \,f_x e \,f_y podemos escrever o gradiente:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr)=\frac{1}{x+7y}\,(1,7).
  • E a diferencial total (útil para aproximações lineares) é
df=f_x\,dx+f_y\,dy=\frac{dx+7\,dy}{x+7y}.

Passo 7

Pequena checagem numérica para fixar (opcional): em (x,y)=(3,1) temos x+7y=3+7=10. Então
f_x(3,1)=\frac{1}{10},\qquad f_y(3,1)=\frac{7}{10},
e realmente f_y(3,1)=7\,f_x(3,1), como prometido.

Resposta

f_x(x,y)=\dfrac{1}{x+7y}
f_y(x,y)=\dfrac{7}{x+7y}
f_y(x,y)=7\,f_x(x,y)

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