Achar f_{x}^{\prime}(2 ; 1) e f_{y}^{\prime}(2 ; 1), se f(x, y)=\sqrt{x y+\frac{x}{y}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\sqrt{x\,y+\frac{x}{y}}
no ponto (2,1). Vamos usar a regra da cadeia para derivada de raiz quadrada e calcular primeiro as derivadas de dentro.

Passo 2

Defina
g(x,y)=x\,y+\frac{x}{y},
então
f(x,y)=\sqrt{g(x,y)}=(g(x,y))^{1/2}.
Pelo regra da cadeia,
f_x=\frac{1}{2\sqrt{g(x,y)}}\;g_x.
Como
g_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(xy\Bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) =y+\frac{1}{y},
segue
f_x(x,y)=\frac{y+\tfrac{1}{y}}{2\sqrt{x\,y+\frac{x}{y}}}.

Passo 3

De modo análogo, para f_y temos
f_y=\frac{1}{2\sqrt{g(x,y)}}\;g_y,
e
g_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(xy\Bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) =x-\frac{x}{y^2}.
Logo
f_y(x,y)=\frac{x-\tfrac{x}{y^2}}{2\sqrt{x\,y+\frac{x}{y}}}.

Passo 4

Agora avaliaremos em (2,1). Primeiro calcule
\sqrt{2\cdot1+\frac{2}{1}}=\sqrt{2+2}=2,
então o denominador comum 2\sqrt{\cdots}=4. Assim,
f_x(2,1)=\frac{1+\tfrac{1}{1}}{4}=\frac{2}{4}=\frac12,
f_y(2,1)=\frac{2-\tfrac{2}{1^2}}{4}=\frac{0}{4}=0.

Resposta

f_x'(2,1)=\tfrac12 f_y'(2,1)=0

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