Achar as derivadas parciais das funções:
u=z^{z y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
u(z,y)=z^{z\,y}.
O conteúdo envolve derivadas parciais de uma função do tipo exponencial onde tanto a base quanto o expoente dependem de z e y. Para resolver vamos usar a reescrita com logaritmo natural e aplicar a regra da cadeia e, no caso de \partial u/\partial z, também a regra do produto.

Passo 2

Reescrevemos u usando a identidade
a^b = \exp\bigl(b\ln a\bigr).
Logo,
u = z^{z\,y} = \exp\bigl(z\,y\ln z\bigr).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} tratamos z como constante e aplicamos a regra da cadeia em \exp\bigl(z\,y\ln z\bigr). Se definirmos
f(y,z)=z\,y\ln z,
então
\frac{\partial f}{\partial y}=z\ln z \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} =\exp\bigl(f(y,z)\bigr)\,\frac{\partial f}{\partial y} =z\ln z\;\exp\bigl(z\,y\ln z\bigr).
Voltando à forma original,
\frac{\partial u}{\partial y} = z\ln(z)\;z^{z\,y}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z} aplicamos novamente a regra da cadeia sobre \exp(f), mas agora \frac{\partial f}{\partial z} exige regra do produto em f(z,y)=z\,y\ln z. Calculamos
\frac{\partial f}{\partial z} =y\ln z + y\,z\cdot\frac1z =y\ln z + y =y\bigl(\ln z+1\bigr).
Então
\frac{\partial u}{\partial z} =\exp\bigl(f(z,y)\bigr)\,\frac{\partial f}{\partial z} =y\bigl(\ln z+1\bigr)\;\exp\bigl(z\,y\ln z\bigr) =y\bigl(\ln z+1\bigr)\;z^{z\,y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=z\ln(z)\;z^{z\,y} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}=y\bigl(\ln(z)+1\bigr)\;z^{z\,y}

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