Apresente uma parametrizaçãoo diferenciável para as seguintes curvas planas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma parametrização diferenciável do arco de círculo definido por x² + y² = 4 com y ≥ 1. O conteúdo usado será a parametrização trigonométrica de uma circunferência de raio 2.
Passo 2
Para uma circunferência de raio 2 centrada na origem, a parametrização geral é dada por
Aqui, t varia em [0,2π], mas precisamos restringir a parte onde y ≥ 1.
Passo 3
Como y(t) = 2\sin t, a condição y ≥ 1 vira
Sabemos que isso ocorre quando
Passo 4
Logo, uma parametrização diferenciável para o arco pedido é
Podemos verificar que α’(t) ≠ (0,0) nesse intervalo, garantindo diferenciabilidade não degenerada.
Resposta
Uma parametrização diferenciável é