Apresente uma parametrizaçãoo diferenciável para as seguintes curvas planas:
C=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=4, y >= 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização diferenciável do arco de círculo definido por x² + y² = 4 com y ≥ 1. O conteúdo usado será a parametrização trigonométrica de uma circunferência de raio 2.

Passo 2

Para uma circunferência de raio 2 centrada na origem, a parametrização geral é dada por
alpha(t) = (2cos t,,2sin t)
Aqui, t varia em [0,2π], mas precisamos restringir a parte onde y ≥ 1.

Passo 3

Como y(t) = 2\sin t, a condição y ≥ 1 vira
2sin t >= 1 ;Long<=ftrightarrow; sin t >= tfrac12
Sabemos que isso ocorre quando
t in [tfracpi6,tfrac5pi6]

Passo 4

Logo, uma parametrização diferenciável para o arco pedido é
alpha(t) = (2cos t,,2sin t), t in [tfracpi6,tfrac5pi6]
Podemos verificar que α’(t) ≠ (0,0) nesse intervalo, garantindo diferenciabilidade não degenerada.

Resposta

Uma parametrização diferenciável é
alpha(t) = (2cos t,,2sin t), t in [tfracpi6,tfrac5pi6]

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