Achar um fator integrante da equação
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
O objetivo aqui é encontrar um fator integrante que vai ajudar a equação a se tornar exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e técnicas para encontrar fatores integrantes que dependem apenas de uma das variáveis, no caso, só de
ou só de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação já é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante
ou
que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
, ou seja,
.
Para isso, usamos a seguinte relação:
Substituindo os valores que calculamos:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Como estamos interessados em um fator integrante qualquer, podemos ignorar a constante
. Portanto, temos:
Resposta
O fator integrante da equação é
.