Achar um fator integrante da equação
(x^2+2 x+y^2) d x+2 y d y=0

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
(x^2+2 x+y^2) dx + 2 y dy = 0
O objetivo aqui é encontrar um fator integrante que vai ajudar a equação a se tornar exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e técnicas para encontrar fatores integrantes que dependem apenas de uma das variáveis, no caso, só de ou só de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação já é exata. Uma equação diferencial da forma partial Mpartial y = partialpartial y(x^2+2x+y^2) = 2y é exata se a derivada parcial de partial Npartial x = partialpartial x(2y) = 0 em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante ou que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de partial Mpartial y - partial Npartial xN = d ln mudx , ou seja, 2y - 02y = d ln mudx Rightarrow 1 = d ln mudx .
Para isso, usamos a seguinte relação:
ln mu = x + C Rightarrow mu = e^x + C = C e^x
Substituindo os valores que calculamos:
mu(x) = e^x
Integrando ambos os lados em relação a :
Como estamos interessados em um fator integrante qualquer, podemos ignorar a constante . Portanto, temos:

Resposta

O fator integrante da equação é .

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