Achar \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right), onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada parcial em relação a x de
\frac{1}{r},
onde definimos r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}. O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia em derivadas parciais.

Passo 2

Reescrevemos \tfrac{1}{r} como potência negativa de r:
\frac{1}{r} = r^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia para derivar r^{-1} em relação a x, temos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{-1}\bigr) = -1 \cdot r^{-2} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} = -r^{-2}\,\frac{\partial r}{\partial x}.

Passo 3

Agora calculamos \tfrac{\partial r}{\partial x}. Como
r = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{1/2},
usa-se novamente a regra da cadeia:
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{r}.
Substituindo em -r^{-2}\,\tfrac{\partial r}{\partial x}, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr) = -r^{-2}\,\frac{x}{r} = -x\,r^{-3}.

Resposta

\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{r}\Bigr) = -\frac{x}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.

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