Comprovar o teorema de Euler sobre as funções homogêneas (Nos. 1816-1819).
Passo 1
O enunciado pede para comprovar o Teorema de Euler para funções homogêneas, usando como exemplo
Vamos precisar da definição de função homogênea e da regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Mostrar que
é homogênea de grau 2: para todo
,
Passo 3
Diferenciando em relação a
e aplicando a regra da cadeia, obtemos
por um lado, e
por outro.
Passo 4
Tomando
nas duas expressões, conclui-se
que é exatamente a fórmula de Euler para funções homogêneas de grau 2.
Passo 5
Para verificar diretamente, calculemos as derivadas parciais:
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